Equazione trinomia di sesto grado

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Equazione trinomia di sesto grado #71691

avt
Paoluccio
Punto
Chiedo il vostro aiuto per calcolare le soluzioni di un'equazione trinomia di sesto grado che non so assolutamente come si faccia. Secondo il testo, le soluzioni sono -2 e -1 però non ho idea di come ricavarle.

Risolvere la seguente equazione di sesto grado

x^6+9x^3+8=0

Grazie.
 
 

Equazione trinomia di sesto grado #71697

avt
Galois
Coamministratore
Consideriamo l'equazione

x^6+9x^3+8=0

Essa è un'equazione trinomia perché gli esponenti con cui l'incognita si presenta sono 6 e 3, uno il doppio dell'altro.

Quando ci troviamo sotto queste condizioni, possiamo pensare di procedere mediante un'opportuna sostituzione che consente di ricondurci a un'equazione di secondo grado.

Poniamo t=x^3 e, una volta elevati i due membri al quadrato e usato a dovere la proprietà relativa alla potenza di una potenza, si ha:

t^2=(x^3)^2=x^{3\cdot 2}=x^6

La sostituzione scelta permette di riscrivere l'equazione come:

t^2+9t+8=0

Essa è chiaramente un'equazione di secondo grado con coefficienti

a=1 \ \ \ , \ \ \ b=9 \ \ \ , \ \ \ c=8

Calcoliamo il discriminante associato con la formula

\Delta=b^2-4ac=9^2-4\cdot 1 \cdot 8=81-32=49

dalla positività del quale comprendiamo che l'equazione in t ammette due soluzioni reali e distinte, ottenibili con la relazione

t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-9\pm 7}{2}=\begin{cases}\frac{-9-7}{2}=-8=t_1\\ \\ \frac{-9+7}{2}=-1=t_2\end{cases}

L'equazione nell'incognita t è pertanto soddisfatta dai due valori

t=-8 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ t=-1

A questo punto dobbiamo ripristinare l'incognita x tenendo conto della sostituzione. Poiché t=x^2, le relazioni precedenti si tramutano in due equazioni binomie

\\ t=-8 \ \ \ \to \ \ \ x^3=-8 \\ \\ t=-1 \ \ \ \to \ \ \ x^3=-1

entrambe risolvibili estraendo la radice cubica del secondo membro

\\ x^3=-8 \ \ \ \to \ \ \ x=\sqrt[3]{-8} \\ \\ x^3=-1 \ \ \ \to \ \ \ x=\sqrt[3]{-1}

A questo punto possiamo ricorrere alle proprietà dei radicali così da semplificare i risultati

\\ x=-\sqrt[3]{8}\ \ \ \to \ \ \ x=-2 \\ \\ x=-\sqrt[3]{1}\ \ \ \to \ \ \ x=-1

Concludiamo pertanto che l'insieme delle soluzioni associato all'equazione trinomia è

S=\left\{-2,\ -1\right\}

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, CarFaby
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Os