Prodotto tra monomio e polinomio con esponenti letterali

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Prodotto tra monomio e polinomio con esponenti letterali #71600

avt
FAQ
Punto
Mi è capitato un esercizio sul prodotto tra un monomio e un polinomio a coefficienti letterali che non sono in grado di risolvere. Il mio insegnante ha detto che devo applicare le proprietà delle potenze, però non so come. Potreste aiutarmi, per favore?

Esprimere in forma normale il seguente prodotto:

-2x^{n}y^{n+1}\left(x^{n-1}y^{2n+3}-2x^{n+1}y^{n-1}+x^{4n+1}y^{n-2}\right)

dove n è un numero naturale maggiore di 1.

Grazie.
 
 

Prodotto tra monomio e polinomio con esponenti letterali #71607

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il nostro compito prevede di calcolare il prodotto tra un monomio e un polinomio: la regola per esplicitarlo si basa su una nota proprietà delle operazioni, denominata proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione: non a caso, il prodotto tra un monomio e un polinomio si ricava distribuendo il monomio a ciascun termine del polinomio!

Occupiamoci dell'espressione

-2x^{n}y^{n+1}\left(x^{n-1}y^{2n+3}-2x^{n+1}y^{n-1}+x^{4n+1}y^{n-2}\right)=

moltiplicando il monomio -2x^{n}y^{n+1} per ciascun termine all'interno delle parentesi tonde

\\ =-2x^{n}y^{n+1}(x^{n-1}y^{2n+3})+(-2x^{n}y^{n+1})(-2x^{n+1}y^{n-1})+\\ \\ +(-2x^{n}y^{n+1})(x^{4n+1}y^{n-2})=

A questo punto, esplicitiamo i prodotti tra i monomi, avvalendoci della regola dei segni, per stabilire il segno da attribuire ai risultati, e della regola sul prodotto di due potenze con la stessa base per ricavare gli esponenti da dare alle lettere che compongono le parti letterali.

=-2x^{n+n-1}y^{n+1+2n+3}+4x^{n+n+1}y^{n+1+n-1}-2x^{n+4n+1}y^{n+1+n-2}=

Sommiamo i monomi simili agli esponenti e scriviamo il risultato!

=-2x^{2n-1}y^{3n+4}+4x^{2n+1}y^{2n}-2x^{5n+1}y^{2n-1}

Ecco fatto!
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