Disequazione con coseno iperbolico #71096

avt
Ticio
Cerchio
Ciao ragazzi! Non riesco a risolvere una disequazione con il coseno iperbolico.

La disequazione è questa:

1\leq \cosh(t) \leq 2


Ho sostituito il coseno iperbolico definito in forma esponenziale

1\leq \dfrac {e^{t}+e^{-t}}{2}\leq 2

e moltiplicato per 2

2\leq e^{t}+e^{-t}\leq 4

Applico il logaritmo naturale

\ln 2\leq \ln \left( e^{t}+e^{-t}\right )\leq \ln4

e... emt

La soluzione è t \in \left[\ln \left(2-\sqrt{3}\right), \ln \left(2+\sqrt{3}\right)\right] , casomai potesse servire.
Grazie mille!
 
 

Re: Disequazione con coseno iperbolico #71107

avt
Galois
Amministratore
Ciao Ticio emt

Dobbiamo trovare per quali valori ti t \in \nathbb{R} è soddisfatta la seguente catena di disequazioni con il coseno iperbolico]:

1 \le \cosh(t) \le 2

Come hai ben fatto, sfruttando la definizione di coseno iperbolico:

\cosh(t)=\frac{e^t + e^{-t}}{2}

ci riconduciamo a:

1 \le \frac{e^t + e^{-t}}{2} \le 2

ovvero, moltiplicando ambo i membri per 2 (quantità positiva che non altera il verso delle disuguaglianze):

2 \le e^t + e^{-t} \le 4

Ora, questa catena di disequazioni equivale al sistema di disequazioni:

\begin{cases}e^t + e^{-t} \ge 2 \\ e^t + e^{-t} \le 4\end{cases}

ci riconduciamo così a due disequazioni esponenziali che possiamo risolvere con il metodo di sostituzione.

Ponendo cioè

e^t = x, \ \mbox{da cui} \ e^{-t}=\frac{1}{x}

si avrà:

\begin{cases}x + \frac{1}{x} \ge 2 \\ x + \frac{1}{x} \le 4\end{cases}

ovvero

\begin{cases}\frac{x^2+1}{x} \ge 2 \\ \frac{x^2+1}{x} \le 4 \end{cases}

Siamo ora di fronte a due disequazioni fratte (che lascio a te).

Le loro soluzioni sono date da:

\begin{cases} x> 0 \\ x<0 \ \vee \ 2-\sqrt{3}\le x \le 2+\sqrt{3} \end{cases}

Da cui la soluzione del sistema:

2-\sqrt{3}\le x \le 2+\sqrt{3}

Ricordando ora che avevamo posto x=e^t si ha:

2-\sqrt{3}\le e^t \le 2+\sqrt{3}

ovvero

\ln[2-\sqrt{3}] \le t \le \ln[2+\sqrt{3}]

che è proprio la soluzione cercata emt
Ringraziano: Omega, Ticio
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