Disequazione con coseno iperbolico #71096

avt
Ticio
Cerchio
Ciao ragazzi! Non riesco a risolvere una disequazione con il coseno iperbolico.

La disequazione è questa:

1 ≤ cosh(t) ≤ 2


Ho sostituito il coseno iperbolico definito in forma esponenziale

1 ≤ dfrac e^(t)+e^(-t)2 ≤ 2

e moltiplicato per 2

2 ≤ e^(t)+e^(-t) ≤ 4

Applico il logaritmo naturale

ln 2 ≤ ln (e^(t)+e^(-t)) ≤ ln4

e... emt

La soluzione è t ∈ [ln (2-√(3)), ln (2+√(3))], casomai potesse servire.
Grazie mille!
 
 

Re: Disequazione con coseno iperbolico #71107

avt
Galois
Amministratore
Ciao Ticio emt

Dobbiamo trovare per quali valori ti t ∈ nathbbR è soddisfatta la seguente catena di disequazioni con il coseno iperbolico]:

1 ≤ cosh(t) ≤ 2

Come hai ben fatto, sfruttando la definizione di coseno iperbolico:

cosh(t) = (e^t+e^(-t))/(2)

ci riconduciamo a:

1 ≤ (e^t+e^(-t))/(2) ≤ 2

ovvero, moltiplicando ambo i membri per 2 (quantità positiva che non altera il verso delle disuguaglianze):

2 ≤ e^t+e^(-t) ≤ 4

Ora, questa catena di disequazioni equivale al sistema di disequazioni:

e^t+e^(-t) ≥ 2 ; e^t+e^(-t) ≤ 4

ci riconduciamo così a due disequazioni esponenziali che possiamo risolvere con il metodo di sostituzione.

Ponendo cioè

e^t = x, da cui e^(-t) = (1)/(x)

si avrà:

x+(1)/(x) ≥ 2 ; x+(1)/(x) ≤ 4

ovvero

(x^2+1)/(x) ≥ 2 ; (x^2+1)/(x) ≤ 4

Siamo ora di fronte a due disequazioni fratte (che lascio a te).

Le loro soluzioni sono date da:

x > 0 ; x < 0 ∨ 2-√(3) ≤ x ≤ 2+√(3)

Da cui la soluzione del sistema:

2-√(3) ≤ x ≤ 2+√(3)

Ricordando ora che avevamo posto x = e^t si ha:

2-√(3) ≤ e^t ≤ 2+√(3)

ovvero

ln[2-√(3)] ≤ t ≤ ln[2+√(3)]

che è proprio la soluzione cercata emt
Ringraziano: Omega, Ticio
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Os