Scomposizione polinomio di 3° grado fratto

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Scomposizione polinomio di 3° grado fratto #71059

avt
Federico88
Punto
Buongiorno a tutti mi sono bloccato nella scomposizione di un polinomio di terzo grado, ho provato in diversi modi ma niente da fare.

Ecco il polinomio in questione:

\frac{1}{x^3+2x^2+2x}


Il problema nasce dal calcolo di un integrale tramite scomposizione.

Grazie in anticipo per la risoluzione, non riesco mai a scomporre polinomio in cui di vari delta dell'equazione caratteristica sono complessi...
 
 

Scomposizione polinomio di 3° grado fratto #71068

avt
MarcoJ
Punto
Ciao! emt Come hai già visto immagino il polinomio in questione ha radici complesse, ma la scomposizione non è così diversa dal caso reale.
Direi che la prima cosa da fare in questo caso sia raccogliere la x in modo da ridurre la scomposizione all'equazione di secondo grado

x^2+2x+2

In questo caso grazie alla formula del delta quarti si ha

\frac{\Delta}{4}= 1-2=-1

dunque le soluzioni saranno

x_{1,2}=-1\pm \sqrt{-1} = -1 \pm i

In definitiva

x^2+2x+2 = (x+1-i)(x+1+i)

Scomposizione polinomio di 3° grado fratto #71069

avt
Omega
Amministratore
Ciao Federico88 emt

Prego, ma di norma le linee guida prevedono che sia il richiedente, per primo, a proporre un tentativo di risoluzione. emt

Qui faccio uno strappo alla regola anche perché devo correggerti:

ecco il polinomio in questione...

\frac{1}{x^3+2x^2+2x}

No, quello che hai scritto non è un polinomio, bensì una frazione algebrica o se preferisci

f(x)=\frac{1}{x^3+2x^2+2x}

è una funzione razionale.

Ad ogni modo mi sembra che tu ti stia perdendo in un bicchier d'acqua. Se vuoi scomporre il polinomio

x^3+2x^2+2x

puoi procedere con un raccoglimento totale

x^3+2x^2+2x=x(x^2+2x+2)

ed infine cercare di scomporre x^2+2x+2 considerando le eventuali radici dell'equazione di secondo grado associata

x^2+2x+2=0

cerchi cioè le radici x_1,x_2, se esistono, e scomponi il polinomio come (x-x_1)(x-x_2).

Dato che il discriminante associato all'equazione è negativo, non vi sono radici reali ergo il polinomio di secondo grado non può essere fattorizzato in \mathbb{R}. Il meglio che puoi fare è

x^3+2x^2+2x=x(x^2+2x+2)

A proposito: clicca qui per il metodo di integrazione delle funzioni razionali. emt
Ringraziano: Pi Greco

Scomposizione polinomio di 3° grado fratto #71126

avt
Federico88
Punto
ok ho capito, io ho messo polinomio solo per non appesantite ulteriormente il post...ma questa scomposizione mi serve per risolvere un integrale razionale...non capisco come posso poi procedere con la scomposizione da voi giustamente eseguita per risolvere l'integrazione della funzione richiesta...emt

Scomposizione polinomio di 3° grado fratto #71127

avt
Omega
Amministratore
Avendo doti predittive (scherzo: solo tanta esperienza) ho chiosato la mia precedente risposta con il link alla guida per l'integrazione di funzioni razionali. Leggi molto bene la tabella che essa riporta, contiene la soluzione al tuo problema. emt

E se proprio proprio non cavi un ragno dal buco, domani avrai modo di postare il tuo tentativo di svolgimento, così nel caso potrò dirti dove sbagli, perché e come procedere nella corretta risoluzione.
Ringraziano: Federico88
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Os