Esercizio: scomporre una somma di cubi di binomi

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Esercizio: scomporre una somma di cubi di binomi #71046

avt
Satiro
Frattale
In un esercizio mi viene chiesto di scomporre un polinomio usando le opportune tecniche di fattorizzazione. Poiché il polinomio è somma di due termini cubici, avevo pensato di usare il prodotto notevole sulla somma di cubi, però non sono in grado di portare a termine l'esercizio.

Fattorizzare il seguente polinomio con le opportune tecniche di scomposizione.

(x+3)^3+(x-3)^3

Grazie.
 
 

Esercizio: scomporre una somma di cubi di binomi #71157

avt
Omega
Amministratore
Per scomporre il polinomio

(x+3)^3+(x-3)^3

possiamo usare il prodotto notevole:

A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)

che trasforma la somma di due cubi nel prodotto tra la somma delle loro basi e il trinomio formato dal:

- quadrato della prima base;

- quadrato della seconda;

- dal prodotto tra le due basi, cambiato di segno.

L'uso della regola presuppone la conoscenza delle basi dei due cubi, vale a dire di A\ \mbox{e} \ B: in altri termini, dalla somma di cubi bisogna estrapolare la base del primo cubo (A) e quella del secondo (B).

Il polinomio (x+3)^3+(x-3)^3 è la somma tra il cubo di x+3 e il cubo di x-3 per cui:

A=x+3 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=x-3

In virtù della tecnica di scomposizione, possiamo scrivere l'uguaglianza:

\\ (x+3)^3+(x-3)^3=\\ \\ =[(x+3)+(x-3)]\left((x+3)^2-(x+3)(x-3)+(x-3)^2\right)=

A questo punto, portiamo a termine i calcoli all'interno delle parentesi quadre e, allo stesso tempo, sviluppiamo i quadrati di binomio (x+3)^2\ \mbox{e}\ (x-3)^2 e il prodotto tra la somma e la differenza dei monomi x\ \mbox{e}\  3

\\ =2x\left(x^2+6x+9-(x^2-9)+x^2-6x+9\right)= \\ \\ = 2x\left(x^2+6x+9-x^2+9+x^2-6x+9\right)=

Non ci resta che sommare i monomi simili all'interno delle parentesi tonde e scrivere il risultato!

=2x(x^2+27)

Poiché x^2+27 è la somma di due quadrati irriducibile, concludiamo che la scomposizione del polinomio è:

(x+3)^3+(x-3)^3=2x(x^2+27)

Abbiamo terminato.
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