Equazione goniometrica elementare con tangente

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Equazione goniometrica elementare con tangente #70946

avt
asd
Punto
Mi è capitata un'equazione goniometrica elementare con la tangente che non sono in grado di risolvere. Mi sono rifatto alla teoria, però i miei risultati non coincidono con quelli del libro.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione goniometrica

\tan(x)=1

Grazie.
 
 

Equazione goniometrica elementare con tangente #70988

avt
Ifrit
Ambasciatore
Prima di calcolare le soluzioni dell'equazione goniometrica elementare

\tan(x)=1

occorre effettuare alcune considerazioni in merito alla buona posizione della tangente: in altre parole, bisogna imporre le condizioni di esistenza.

Affinché l'equazione sia ben posta, richiediamo che l'argomento della tangente sia diverso da \frac{\pi}{2}+k\pi dove k è un parametro libero di variare nell'insieme dei numeri interi.

C.E. \ : \ x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Noto l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo procedere con la risoluzione. Disegniamo la circonferenza goniometrica, vale a dire quella circonferenza di centro nell'origine degli assi e raggio 1. Tracciamo inoltre la retta tangente alla circonferenza nel punto di coordinate (1,0),

Sulla retta tangente consideriamo il punto di ordinata pari al secondo membro dell'equazione, vale a dire (1,1), dopodiché rappresentiamo la retta che congiunge l'origine degli assi con il punto ottenuto.

Tale retta genera due angoli, orientati in senso antiorario, che rappresentano le soluzioni dell'equazione riferite all'intervallo 0\le x <2\pi: si noti che poiché 1 è un numero positivo, i due angoli staranno rispettivamente nel primo e nel terzo quadrante e sono caratterizzati dal fatto che la loro differenza è uguale a \pi.

Esercizi equazioni goniometriche elementari 11

Aiutandoci con la tabella dei valori notevoli delle funzioni goniometriche se necessario, scopriamo che le ampiezze dei due angoli sono:

x=\frac{\pi}{4}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ x=\frac{5\pi}{4}

e rappresentano le soluzioni dell'equazione riferite all'intervallo 0\le x<2\pi.

Tenendo a mente che la tangente è una funzione periodica di periodo T=\pi, siamo autorizzati a scegliere uno dei due valori come soluzione base e a ricavare le altre aggiungendo 2k\pi.

Se scegliamo \frac{\pi}{4} come rappresentante, le soluzioni dell'equazione goniometrica sono:

x=\frac{\pi}{4}+2k\pi

dove k è un qualsiasi numero intero.
Ringraziano: asd
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Os