Equazione goniometrica di secondo grado per raccoglimento

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Equazione goniometrica di secondo grado per raccoglimento #70931

avt
ermagnus95
Cerchio
Tra gli esercizi che devo risolvere mi è capitata un'equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno che non sono in grado di risolvere. Ho provato a seguire i suggerimenti del professore però non ci ho capito molto, ecco perché chiedo il vostro aiuto.

Calcolare le soluzioni dell'equazione goniometrica di secondo grado

\sin(x)\cos(x)=\cos^2(x)

Grazie.
 
 

Equazione goniometrica di secondo grado per raccoglimento #70943

avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro compito consiste nel risolvere l'equazione goniometrica di secondo grado

\sin(x)\cos(x)=\cos^2(x)

ma prima è necessario effettuare una precisazione: l'equazione così come è stata proposta non è scritta in forma normale. Per ricondurci alla forma notevole delle equazioni goniometriche di secondo grado in seno e coseno bisogna trasportare \cos^2(x) al primo membro

\sin(x)\cos(x)-\cos^2(x)=0

A questo punto è sufficiente raccogliere il fattore comune \cos(x)

\cos(x)[\sin(x)-\cos(x)]=0

e utilizzare la legge di annullamento del prodotto: essa garantisce che il prodotto al primo membro vale zero nel momento in cui almeno uno dei fattori che lo compongono è zero a sua volta.

Questa semplice regola consente di considerare le seguenti equazioni che risolveremo una alla volta e in seguito ne uniremo le soluzioni

\\ \cos(x)=0 \\ \\ \sin(x)-\cos(x)=0

La prima è un'equazione goniometrica elementare e fornisce la prima famiglia di soluzioni

\cos(x)=0 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{\pi}{2}+k\pi

dove k è un qualsiasi numero intero.

Per quanto riguarda

\sin(x)-\cos(x)=0

essa è un'equazione lineare in seno e coseno omogenea. Per calcolare le soluzioni, isoliamo il seno al primo membro

\sin(x)=\cos(x)

dopodiché controlliamo se i valori che annullano il coseno, ossia

x=\frac{\pi}{2}+k\pi

sono o no soluzioni. In accordo con la relazione fondamentale della goniometria

\sin^2(x)+\cos^2(x)=1

se \cos(x)=0 allora necessariamente

\sin^2(x)=1 \ \ \ \to \ \ \ \sin(x)=\pm 1

e se rimpiazziamo i valori nell'equazione ricaviamo

-1=0 \ \ \ ;  \ \ \ 1=0

entrambe impossibili. Ciò significa che gli zeri del coseno non sono soluzioni dell'equazione lineare.

Se \cos(x)\ne 0, vale a dire se

x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

possiamo dividere i due membri dell'equazione

\sin(x)=\cos(x)

per \cos(x), ottenendo così l'equazione equivalente

\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=1

che sfruttando la definizione di tangente diventa

\tan(x)=1

Poiché la tangente è una funzione periodica di periodo T=\pi e in base ai valori notevoli della funzione goniometrica, possiamo affermare che l'equazione è soddisfatta dalla famiglia

x=\frac{\pi}{4}+k\pi

al variare di k\in\mathbb{Z}.

Finalmente disponiamo di tutte le informazioni necessarie a concludere l'esercizio: l'equazione

\sin(x)\cos(x)=\cos^2(x)

è soddisfatta dalle seguenti famiglie di valori

\\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \\ \\ \\ x=\frac{\pi}{4}+k\pi

dove k è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.
Ringraziano: ermagnus95
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Os