Equazione trinomia di grado 4 #70929

avt
piombino
Punto
Avrei bisogno del vostro intervento per risolvere un'equazione biquadratica di cui non riesco a ottenere le soluzioni, nonostante abbia impostato il procedimento suggerito dal mio insegnante.

Determinare le soluzioni reali dell'equazione biquadratica

x^4-3x^2+2 = 0

Grazie.
Ringraziano: Galois
 
 

Equazione trinomia di grado 4 #70935

avt
Galois
Amministratore
L'equazione di cui vogliamo determinare le soluzioni è

x^4-3x^2+2 = 0

vale a dire un'equazione trinomia i cui coefficienti sono

a = 1 , b = -3 , c = 2

La particolarità dell'equazione è che l'incognita compare due volte con esponenti che sono l'uno il doppio dell'altro. Sotto tale eventualità, la strategia migliore per risolverla consiste nell'usare una sostituzione ben precisa: t = x^2.

In virtù della proprietà relativa a una potenza di una potenza, se t = x^2 allora

t^2 = (x^2)^2 = x^4

e grazie alla sostituzione possiamo scrivere l'equazione di partenza come

t^2-3t+2 = 0

In buona sostanza, siamo passati da un'equazione di grado quattro a un'equazione di secondo grado nell'incognita t in cui il coefficiente di t^2, quello di t e il termine noto valgono rispettivamente

a = 1 , b = -3 , c = 2

Per risolverla possiamo avvalerci della formula del discriminante

Δ = b^2-4ac = (-3)^2-4·1·2 = 9-8 = 1

Dalla positività del delta deduciamo che l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte ottenibili con la relazione

t_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-(-3)±1)/(2) = (3-1)/(2) = (2)/(2) = 1 = t_1 ; (3+1)/(2) = (4)/(2) = 2 = t_2

Le soluzioni in t sono dunque

t = 1 e t = 2

Tenendo conto della sostituzione, ritorniamo nell'incognita x.

Avendo posto t = x^2, ricaviamo le seguenti equazioni pure

x^2 = 1 → x_(1,2) = ±1 ; x^2 = 2 → x_(3,4) = ±√(2)

Tiriamo le somme: l'equazione biquadratica ammette quattro soluzioni reali e distinte e il suo insieme soluzione è

S = -√(2), -1, 1, √(2)

Ecco fatto!
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby
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Os