Equazione trinomia di grado 4 #70929

avt
piombino
Punto
Avrei bisogno del vostro intervento per risolvere un'equazione biquadratica di cui non riesco a ottenere le soluzioni, nonostante abbia impostato il procedimento suggerito dal mio insegnante.

Determinare le soluzioni reali dell'equazione biquadratica

x^4-3x^2+2=0

Grazie.
Ringraziano: Galois
 
 

Equazione trinomia di grado 4 #70935

avt
Galois
Amministratore
L'equazione di cui vogliamo determinare le soluzioni è

x^4-3x^2+2=0

vale a dire un'equazione trinomia i cui coefficienti sono

a=1 \ \ \ , \ \ \ b=-3 \ \ \ , \ \ \ c=2

La particolarità dell'equazione è che l'incognita compare due volte con esponenti che sono l'uno il doppio dell'altro. Sotto tale eventualità, la strategia migliore per risolverla consiste nell'usare una sostituzione ben precisa: t=x^2.

In virtù della proprietà relativa a una potenza di una potenza, se t=x^2 allora

t^2=(x^2)^2=x^4

e grazie alla sostituzione possiamo scrivere l'equazione di partenza come

t^2-3t+2=0

In buona sostanza, siamo passati da un'equazione di grado quattro a un'equazione di secondo grado nell'incognita t in cui il coefficiente di t^2, quello di t e il termine noto valgono rispettivamente

a=1  \ \ \ , \ \ \ b=-3  \ \ \ , \ \ \ c=2

Per risolverla possiamo avvalerci della formula del discriminante

\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 1 \cdot 2=9-8=1

Dalla positività del delta deduciamo che l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte ottenibili con la relazione

\\ t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\\ \\ \\ =\frac{-(-3)\pm 1}{2}=\begin{cases}\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1=t_1\\ \\ \frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2=t_2\end{cases}

Le soluzioni in t sono dunque

t=1\ \ \ \mbox{e} \ \ \ t=2

Tenendo conto della sostituzione, ritorniamo nell'incognita x.

Avendo posto t=x^2, ricaviamo le seguenti equazioni pure

\\ x^2=1 \ \ \ \to \ \ \ x_{1,2}=\pm 1 \\ \\ x^2=2 \ \ \ \to \ \ \ x_{3,4}=\pm\sqrt{2}

Tiriamo le somme: l'equazione biquadratica ammette quattro soluzioni reali e distinte e il suo insieme soluzione è

S=\left\{-\sqrt{2},\ -1,\  1,\ \sqrt{2}\right\}

Ecco fatto!
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby
  • Pagina:
  • 1
Os