Risolvere un'equazione goniometrica di grado 2 in seno e coseno

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Risolvere un'equazione goniometrica di grado 2 in seno e coseno #70907

avt
ArmoniaMusicae
Cerchio
Avrei bisogno del vostro intervento per risolvere un'equazione goniometrica di secondo grado espressa in termini di seno e coseno. Ho usato tutte le formule goniometriche che conoscevo ma nulla, non sono stato capace di trovare le soluzioni.

Determinare le soluzioni della seguente equazione goniometrica di secondo grado

2\sin^2(x)+3\sin(x)\cos(x)=2-2\cos^2(x)

Grazie.
 
 

Risolvere un'equazione goniometrica di grado 2 in seno e coseno #70908

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo

2\sin^2(x)+3\sin(x)\cos(x)=2-2\cos^2(x)

Essa è un'equazione goniometrica di secondo grado espressa in termini di seno e coseno. Per poter determinare le soluzioni nel maniera più comoda possibile, trasportiamo -2\cos^2(x) al primo membro

2\sin^2(x)+2\cos^2(x)+3\sin(x)\cos(x)=2

dopodiché raccogliamo parzialmente 2 tra i primi due addendi

2(\sin^2(x)+\cos^2(x))+3\sin(x)\cos(x)=2

Facciamo intervenire la relazione fondamentale della goniometria così da trasformare la somma dei quadrati di seno e coseno all'interno delle parentesi tonde in 1

2+3\sin(x)\cos(x)=2

da cui cancellando 2 a sinistra e a destra

3\sin(x)\cos(x)=0

Da qui in poi è tutta discesa: interviene infatti la legge di annullamento del prodotto che ci permette di considerare le due equazioni goniometriche elementari

\\ \sin(x)=0 \ \ \ \to \ \ \ x=k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z} \\ \\ \cos(x)=0 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

In definitiva possiamo concludere che

2\sin^2(x)+3\sin(x)\cos(x)=2-2\cos^2(x)

è soddisfatta dalle famiglie di soluzioni

\\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z} \\ \\ \\ x=k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Nota: aiutandoci con la circonferenza goniometrica è possibile raggruppare le due famiglie di soluzioni nell'unica famiglia:

x=\frac{k\pi}{2} \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

infatti se facciamo attenzione, sono soluzioni tutti i multipli interi di \frac{\pi}{2}.
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