Risolvere un'equazione goniometrica di grado 2 in seno e coseno

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Risolvere un'equazione goniometrica di grado 2 in seno e coseno #70907

avt
ArmoniaMusicae
Cerchio
Avrei bisogno del vostro intervento per risolvere un'equazione goniometrica di secondo grado espressa in termini di seno e coseno. Ho usato tutte le formule goniometriche che conoscevo ma nulla, non sono stato capace di trovare le soluzioni.

Determinare le soluzioni della seguente equazione goniometrica di secondo grado

2sin^2(x)+3sin(x)cos(x) = 2-2cos^2(x)

Grazie.
 
 

Risolvere un'equazione goniometrica di grado 2 in seno e coseno #70908

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo

2sin^2(x)+3sin(x)cos(x) = 2-2cos^2(x)

Essa è un'equazione goniometrica di secondo grado espressa in termini di seno e coseno. Per poter determinare le soluzioni nel maniera più comoda possibile, trasportiamo -2cos^2(x) al primo membro

2sin^2(x)+2cos^2(x)+3sin(x)cos(x) = 2

dopodiché raccogliamo parzialmente 2 tra i primi due addendi

2(sin^2(x)+cos^2(x))+3sin(x)cos(x) = 2

Facciamo intervenire la relazione fondamentale della goniometria così da trasformare la somma dei quadrati di seno e coseno all'interno delle parentesi tonde in 1

2+3sin(x)cos(x) = 2

da cui cancellando 2 a sinistra e a destra

3sin(x)cos(x) = 0

Da qui in poi è tutta discesa: interviene infatti la legge di annullamento del prodotto che ci permette di considerare le due equazioni goniometriche elementari

sin(x) = 0 → x = kπ con k∈Z ; cos(x) = 0 → x = (π)/(2)+kπ con k∈Z

In definitiva possiamo concludere che

2sin^2(x)+3sin(x)cos(x) = 2-2cos^2(x)

è soddisfatta dalle famiglie di soluzioni

x = (π)/(2)+kπ con k∈Z ; x = kπ con k∈Z

Nota: aiutandoci con la circonferenza goniometrica è possibile raggruppare le due famiglie di soluzioni nell'unica famiglia:

x = (kπ)/(2) con k∈Z

infatti se facciamo attenzione, sono soluzioni tutti i multipli interi di (π)/(2).
  • Pagina:
  • 1
Os