Esercizio equazione di grado superiore a 2 fratta

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Esercizio equazione di grado superiore a 2 fratta #70840

avt
sery167
Punto
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione fratta riconducibile a un'equazione binomia mediante un'opportuna sostituzione. Ho provato a svolgerla ma sbaglio sicuramente qualcosa perché i calcoli diventano davvero impossibili.

Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione fratta

(2x-1)^2-\frac{3^3}{(2x-1)^4}=0

Grazie.
 
 

Esercizio equazione di grado superiore a 2 fratta #70842

avt
Pi Greco
Kraken
L'esercizio chiede di calcolare le soluzioni dell'equazione fratta

(2x-1)^2-\frac{3^3}{(2x-1)^4}=0

e per raggiungere lo scopo dobbiamo innanzitutto imporre le condizioni di esistenza. In questo caso dobbiamo pretendere che il denominatore contenente l'incognita sia diverso da zero, ricordiamo infatti che non è possibile dividere per zero.

(2x-1)^{4}\ne 0

Affinché una potenza sia diversa da zero deve essere non nulla la sua base, perciò scriviamo

2x-1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne \frac{1}{2}

Da qui comprendiamo che l'equazione è ben posta nel momento in cui l'incognita soddisfa la condizione:

C.E.: \ x\ne \frac{1}{2}

Trovata la condizione d'esistenza, guardiamo con molta attenzione la forma in cui si presenta l'equazione: è proprio la presenza di 2x-1 alla base di entrambe le potenze a suggerire la sostituzione

t=2x-1

mediante la quale otteniamo l'equazione nell'incognita t

t^{2}-\frac{3^3}{t^4}=0

Prima di continuare con i calcoli, riteniamo sia opportuno sottolineare che se avessimo sviluppato le potenze di binomio

(2x-1)^2\ \ \ \mbox{e} \ \ \ (2x-1)^4

avremmo ottenuto un'equazione molto più difficile da gestire, oltre ad aver fatto molti calcoli che non avrebbero portato da nessuna parte.

Torniamo quindi all'equazione fratta

t^{2}-\frac{3^3}{t^4}=0

Scriviamola in forma normale calcolando il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore

\frac{t^{6}-3^3}{t^4}=0

Una volta moltiplicati i due membri per t^{4} ricaviamo l'equazione binomia di grado 6

t^{6}-3^{3}=0

che possiamo risolvere isolando t^{6} a sinistra dell'uguale

t^{6}=3^{3}

Ricaveremo due soluzioni reali e distinte proprio perché il grado dell'equazione è pari e i due membri sono concordi, hanno cioè il medesimo segno: esse sono

t=-\sqrt[6]{3^{3}} \ \ \ , \ \ \ t=\sqrt[6]{3^3}

Sfruttando inoltre le proprietà dei radicali - in particolare la proprietà invariantiva - siamo in grado di esprimere le soluzioni in t come

t=-\sqrt[2]{3} \ \ \ , \ \ \ t=\sqrt[2]{3}

Come abbiamo fatto? Abbiamo semplificato l'esponente del radicando con l'indice della radice:

\sqrt[6]{3^{3}}=\sqrt[2\cdot 3]{3^3}=\sqrt[2]{3}

Attenzione, non abbiamo ancora terminato! Dopo aver determinato le soluzioni in t, dobbiamo infatti ritornare nell'incognita x tenendo conto della sostituzione fatta. Poiché t=2x-1, la relazione t=-\sqrt[2]{3} si tramuta in

2x-1=-\sqrt[2]{3}

ossia in un'equazione di primo grado nell'incognita x che possiamo risolvere isolando quest'ultima al membro di sinistra

2x=1-\sqrt[2]{3}\ \ \ \to \ \ \ x=\frac{1-\sqrt[2]{3}}{2}

Per quanto concerne la relazione t=\sqrt[2]{3}, essa si traduce nell'equazione

2x-1=\sqrt[2]{3}

da cui ricaviamo

x=\frac{1+\sqrt[2]{3}}{2}

Entrambi i valori soddisfano le condizioni di esistenza dell'equazione fratta e dunque sono soluzioni della stessa. Possiamo pertanto concludere che l'insieme soluzione associato all'equazione data è

S=\left\{\frac{1-\sqrt[2]{3}}{2},\ \frac{1+\sqrt[2]{3}}{2}\right\}

Chiosa finale: in questo particolare esercizio abbiamo preferito scrivere esplicitamente l'indice della radice quadrata per una mera questione didattica.
Ringraziano: Omega
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Os