Una disequazione esponenziale ed una disequazione irrazionale

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Una disequazione esponenziale ed una disequazione irrazionale #7079

avt
Donniebrasco
Punto
Ho bisogno di voi per risolvere due esercizi: sono due disequazioni esponenziali, una delle quali coinvolge un termine irrazionale. Non capisco perché non ottengo il risultato del libro.

Risolvere le seguenti disequazioni

(a) (2^(x-1)·4^(1+x))/(6^(1-x)) < 3 ; (b) √(2^(2x)+2^(x+1)) < 4·2^(x)

Grazie.
 
 

Una disequazione esponenziale ed una disequazione irrazionale #7080

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio si compone di due disequazioni di cui dobbiamo determinare gli insiemi delle soluzioni.


Disequazione esponenziale

Risolviamo la disequazione esponenziale

(2^(x-1)·4^(x+1))/(6^(1-x)) < 3

sfruttando a dovere le proprietà delle potenze secondo cui possiamo scrivere

4^(x+1) = (2^2)^(x+1) = 2^(2(x+1))

Sostituiamo questo nuovo termine nella disequazione iniziale

(2^(x-1)·2^(2(x+1)))/(6^(1-x)) < 3

e svolgiamo il prodotto delle potenze che hanno base 2

(2^(x-1+2x+2))/(6^(1-x)) < 3

Svolgiamo la somma all'esponente e moltiplichiamo a destra e sinistra per il denominatore sapendo che, trattandosi di un esponenziale, non può essere mai negativo e quindi il segno della disequazione non deve essere cambiato!

2^(3x+1) < 3·6^(1-x)

Si può scrivere, sempre per le proprietà delle potenze, che

6^(1-x) = 2^(1-x)·3^(1-x)

Sostituiamo e poi dividiamo per il primo di questi due termini

(2^(3x+1))/(2^(1-x)) < 3·3^(1-x)

Sfruttiamo le proprietà delle potenze che riguarda prodotto e divisione tra potenze con basi uguali

2^(4x) < 3^(2-x)

da cui

2^(4x)·3^x < 9

Applichiamo ai due membri il logaritmo in base 3

log_3(2^(4x) 3^x) < log_3(9)

Esprimiamo il logaritmo del prodotto nella somma di logaritmi

log_3(2^(4x))+log_3(3^x) < log_3(9)

e semplifichiamo i logaritmi delle potenze

4xlog_3(2)+x < 2 ; x(4log_(3)(2)+1) < 2

Dividiamo infine i due membri per 4log_(3)(2)+1 senza invertire il verso della disequazione perché è una quantità positiva:

x < (2)/(4log_3(2)+1)


Disequazione irrazionale con esponenziali

Per risolvere la disequazione irrazionale

√(2^(2x)+2^(x+1)) < 4·2^(x)

è sufficiente osservare che essa si presenta nella forma notevole

√(f(x)) < g(x)

che equivale a risolvere i due sistemi di disequazioni

f(x) ≥ 0 ; g(x) ≥ 0 ; f(x) < [g(x)]^2

Nel nostro caso, la disequazione

√(2^(2x)+2^(x+1)) < 4·2^(x)

equivale al sistema di disequazioni

2^(2x)+2^(x+1) ≥ 0 ; 4·2^(x) ≥ 0 ; 2^(2x)+2^(x+1) < (4·2^(x))^2

La prima disequazione esponenziale è sempre verificata perché la somma di due termini esponenziali è sempre positiva.

2^(2x)+2^(x+1) ≥ 0 ∀ x∈R

Sempre per la positività delle funzioni esponenziali anche la seconda disequazione è soddisfatta per ogni x∈R

4·2^(x) ≥ 0 ∀ x∈R

Occupiamoci dell'ultima disequazione che, poi, è quella più interessante.

2^(2x)+2^(x+1) < (4·2^(x))^2

Le proprietà delle potenze garantiscono le seguenti uguaglianze

2^(x+1) = 2·2^(x) (4·2^(x))^2 = 16·2^(2x)

grazie alle quali, la disequazione diventa

2^(2x)+2·2^(x) < 16·2^(2x)

Trasportiamo tutti i termini al primo e sommiamo i termini simili

2^(2x)+2·2^(x)-16·2^(2x) < 0 ;-15·2^(2x)+2·2^(x) < 0 ; 15·2^(2x)-2·2^(x) > 0

Mettiamo in evidenza 2^(x)

2^(x)[15·2^(x)-2] > 0

e osserviamo che 2^(x) è certamente positivo, sicché il prodotto al primo membro è maggiore di zero se e solo se è positivo il secondo fattore

15·2^(x)-2 > 0 ; 2^(x) > (2)/(15)

A questo punto applichiamo il logaritmo in base 2 a destra e a sinistra

x > log_(2)((2)/(15))

ed esprimiamo il logaritmo del rapporto nella differenza di logaritmi

x > log_(2)(2)-log_(2)(15) ; x > 1-log_(2)(15)


Soluzioni del sistema

Poiché sia la prima sia la seconda disequazione del sistema sono soddisfatte per ogni x∈R, il sistema ha lo stesso insieme soluzione della terza disequazione

S: x > 1-log_(2)(15)

Esso rappresenta anche l'insieme soluzione della disequazione irrazionale.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Donniebrasco
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