Disequazione logaritmica con la presenza di e

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Disequazione logaritmica con la presenza di e #70767

avt
Lele914
Punto
Ciao, vi scrivo perché non riesco a giungere alla soluzione di una disequazione logaritmica

\log(\frac{1}{2}(x^2-ex))<2


Ho calcolato le condizioni d'esistenza e ho cercato di scomporla nella seguente maniera:

\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}ex<2.

risolvendo la disequazione di secondo grado non riesco ad arrivare alla soluzione.
La soluzione è -e<x<0,\ e<x<2e.
Grazie mille.
 
 

Disequazione logaritmica con la presenza di e #70790

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ok, abbiamo la disequazione logaritmica:

\log\left(\frac{1}{2} (x^2-e x)\right)<2

Per prima cosa calcoliamo il campo d'esistenza imponendo che l'argomento del logaritmo sia maggiore di zero:

\frac{1}{2}(x^2-ex)>0

da cui

x^2-ex>0\implies x(x-e)>0

Studiamo il segno dei due fattori:

\bullet\,\, x>0

\bullet\,\, x-e>0\implies x>e

Tabuliamo i segni:

\begin{matrix}x&: - - -&0&+++&e&+++\\ x-e&: ---&0&---&e&+++\\ x(x-e)&:+++&0&---&e&+++\end{matrix}

La disequazione ha senso se:

x<0\vee x>e

Ora passiamo a studiare la disequazione. Applichiamo membro a membro l'esponenziale.

Così da ottenere:

\frac{1}{2}(x^2-ex)<e^2

Portiamo tutto al primo membro e calcoliamo il minimo comune multiplo:

\frac{1}{2}(x^2-ex)-e^2<0

\frac{x^2-e x-2e^2}{2}<0

che è equivalente alla disequazione di secondo grado:

x^2-e x-2e^2<0

Calcoliamo il discriminante e le soluzioni dell'equazione omogenea associata:

x^2-e x-2 e^2=0

\Delta= e^2+8e^2= 9 e^2\implies \sqrt{\Delta}=\sqrt{9 e^2}= 3 e

Le soluzioni dell'omogenea associata sono:

x_{1,2}=\frac{e\pm\ 3 e}{2}= \begin{cases}x_1= -e\\ x_2= 2e\end{cases}

Dobbiamo prendere le soluzioni interne ovvero:

-e<x<2e

Non ci rimane altro che intersecare con il campo d'esistenza ottenendo:

S: -e<x<0\vee e<x<2e

Se hai dubbi... emt
Ringraziano: Omega

Disequazione logaritmica con la presenza di e #70791

avt
MarcoJ
Punto
La prima cosa da fare è calcolare il dominio:

\frac{1}{2}(x^2-ex)>0

Risolvendo l'equazione dovrebbe venirti (-\infty , 0) \cup (e, +\infty)

Ora che hai fatto questo devi in qualche modo liberarti del logaritmo, e per fare ciò non devi far altro che applicare la funzione esponenziale ad entrambi i lati della disuguaglianza, che essendo monotona conserva il verso della disuguaglianza, in matematichese

e^{\log(\frac{1}{2}(x^2-ex))}<e^2

Ora per definizione di logaritmo (naturale) e^{log(x)}=x e puoi risolvere la disequazione di secondo grado che ne risulta!
Ringraziano: Lele914

Disequazione logaritmica con la presenza di e #70792

avt
Lele914
Punto
Scusami ma quindi quando nel libro non mi viene specificata la base del logaritmo come nell'esempio, esso è di base naturale? Perchè io sapevo che il logaritmo naturale si indica con ln e con log si indica il logaritmo in base 10.

Disequazione logaritmica con la presenza di e #70794

avt
Ifrit
Ambasciatore
Non esattamente, o meglio non esiste una regola seguita da tutti i libri di testo e/o insegnanti.

Solitamente \ln(x) e \log(x) indicano il logaritmo naturale (in base e ). Il logaritmo in base 10 viene indicato con la L maiuscola: \mbox{Log}(x)= \log_{10}(x).
Ringraziano: Omega, Lele914
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Os