Equazione fratta logaritmica #70705

avt
Lele914
Punto
Ciao, scrivo per essere aiutata nella risoluzione di un'equazione fratta logaritmica. Il testo è il seguente:

\frac{\log(x^2-1)}{\log{(21-x^2)}}=\frac{1}{2}.


Dopo aver calcolato le condizioni di esistenza e fatto vari passaggi non riesco ad arrivare alla soluzione. La strada che seguo io è la seguente:

\log{(x^2-1)}-\log{(21-x^2)}=\log{(1/2)}.

Arrivo quindi ad avere logaritmi tutti nella stessa base ed eseguo la relativa equazione non arrivando però alla soluzione. Potete aiutarmi per favore a capire dove sbaglio sapendo che la soluzione dell'equazione è \pm \sqrt{5}

Grazie mille emt
 
 

Equazione fratta logaritmica #70726

avt
Galois
Amministratore
Ciao Lele914 emt

Innanzitutto ti invito a prendere visione delle proprietà dei logaritmi.

Asserire infatti che

\frac{\log(x^2-1)}{\log{(21-x^2)}}=\log{(x^2-1)}-\log{(21-x^2)}

è, ahimè, quanto mai errato!

Detto questo, siamo di fronte alla seguente equazione logaritmica:

\frac{\log(x^2-1)}{\log{(21-x^2)}}=\frac{1}{2}

La prima cosa da fare è trovarne l'insieme di definizione andando a trovare le soluzioni del sistema:

\begin{cases}x^2-1>0 \\ 21-x^2 >0 \\ \log(21-x^2) \neq 0 \end{cases}

I conti li lascio a te. Le soluzioni che dovresti ottenere sono:

-\sqrt{21}<x<-2\sqrt{5} \ \vee \ -2\sqrt{x}<x<-1 \ \vee \ 1<x<2\sqrt{5} \ \vee \ 2\sqrt{5}<x<\sqrt{21}

Fatto questo, per trovare le soluzioni della nostra equazione, basta riscriverla come:

2[\log(x^2-1)]=\log{(21-x^2)}

da cui, per una delle proprietà dei logaritmi:

\log(x^2-1)^2=\log{(21-x^2)}

Possiamo, a questo punto, uguagliare gli argomenti così da ricondurci all'equazione:

(x^2-1)^2=21-x^2

Sviluppiamo il quadrato di binomio, portiamo tutto a primo membro e sommiamo i termini simili. Avremo:

x^4-x^2-20=0

ovvero un'equazione trinomia risolvibile per sostituzione ponendo

x^2=y

per poi ottenere l'equazione di secondo grado

y^2-y-20=0

che ha come soluzioni:

y_1=-4, \ y_2=5

Tornando alla variabile x:

x^2 = -4 \ (\mbox{impossibile in} \ \mathbb{R})

x^2=5 \iff x=\pm \sqrt{5}

che sono entrambe accettabili.
Ringraziano: Omega, Ifrit, Paki007, Lele914
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