Equazione logaritmica con due basi diverse

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Equazione logaritmica con due basi diverse #70698

avt
trieb91
Punto
Ciao, vorrei una mano con questa equazione logaritmica in cui sono presenti due basi diverse:

\log_{\frac{2}{3}}{(x)}+3\log_{3}(x)= 0

Ho provato a cambiare la base trasformando tutti in base 3 o viceversa i base 2/3 ma in entrambi i casi non riesco a venirne a capo perché rimango con un logaritmo che ha un valore decimale.

Il risultato è: x=\frac{1}{27},\ x=1

Grazie in anticipo!
 
 

Equazione logaritmica con due basi diverse #70713

avt
Galois
Amministratore
Ciao trieb91 emt

Siamo di fronte ad un'equazione logaritmica formata da due logaritmi aventi basi diverse.

Innanzitutto osserviamo che le soluzioni saranno accettabili a patto che siano strettamente positive. Messo in chiaro questo aspetto il modo migliore di procedere è optare per un cambiamento di base.

Come hai avuto modo di osservare da solo sia il passaggio alla base 3 che il passaggio alla base 2/3 ci porta ad avere, a denominatore, un numero non intero. Poco male! Scegliamo indistintamente uno dei due valori ed applichiamo la formula per il cambiamento di base dei logaritmi.

Nessuno ci obbliga infatti a ricavare il valore esatto dei logaritmi. Possiamo lasciarli così come sono emt

Optando per il passaggio alla base 3 avremo

\log_{\frac{2}{3}}(x)=\frac{\log_3(x)}{\log_{3}\left(\frac{2}{3}\right)}

e, sostituendo nell'equazione di partenza verrà fuori:

\frac{\log_3(x)}{\log_{3}\left(\frac{2}{3}\right)} + 3\log_3(x)=0

Effettuiamo ora un raccoglimento totale del fattore \log_3(x) in modo da avere:

\log_3(x)\left[\frac{1}{\log_{3}\left(\frac{2}{3}\right)} + 3 \right]=0

Ora, per la legge di annullamento del prodotto si ha:

\log_3(x)=0 \iff x=1

\frac{1}{\log_{3}\left(\frac{2}{3}\right)} + 3 = 0

che, ovviamente, è un'uguaglianza priva di significato.

Ragion per cui, l'unica soluzione della nostra equazione sarà x=1.

È impossibile che x=\frac{1}{27} sia anch'essa soluzione.

Infatti:

3 \log_3 \left(\frac{1}{27}\right)=-9

E, affinché per tale valore di x l'equazione sia verificata dovrebbe valere

\log_{\frac{2}{3}}\left(\frac{1}{27}\right)=9

il che è, senza ombra di dubbio, falso.
Ringraziano: Omega
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Os