Equazione non risolvibile algebricamente con logaritmo

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Equazione non risolvibile algebricamente con logaritmo #70556

avt
piki
Punto
Avrei bisogno del vostro aiuto per determinare le soluzioni approssimate di un'equazione non risolvibile algebricamente in cui interviene un logaritmo. Il testo chiede di utilizzare il metodo grafico, però c'è un problema: non riesco a capire quali sono le espressioni da rappresentare.

Utilizzare il metodo grafico per determinare le soluzioni approssimate della seguente equazione non risolvibile algebricamente

4x-1-2\ln(x^2)=0

Come posso fare? Grazie.
Ringraziano: ermagnus95
 
 

Equazione non risolvibile algebricamente con logaritmo #70558

avt
Galois
Coamministratore
Il nostro compito consiste nel calcolare le soluzioni approssimate dell'equazione

4x-1-2\ln(x^2)=0

Essa è chiaramente un'equazione non risolvibile algebricamente perché non è possibile ricondurla ad alcuna tipologia notevole.

Per analizzarla, bisogna ricondurla nella forma

f(x)=g(x)

dove f(x) \ \mbox{e} \ g(x) sono due espressioni che dipendono da x e di cui è facile tracciare il grafico, ma prima bisogna necessariamente imporre le opportune condizioni di esistenza.

Affinché l'equazione abbia senso, dobbiamo richiedere che l'argomento del logaritmo sia maggiore di zero, dobbiamo cioè risolvere la disequazione di secondo grado

C.E.: \ x^2>0\ \ \ \to \ \ \ x\ne 0

L'equazione è dunque ben posta per ogni x diverso da zero. Una volta determinata la condizione che definisce l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo procedere con il metodo. Una possibile forma normale (non l'unica, ma certamente la più comoda per i nostri scopi) è

4x-1=2\ln(x^2)

Sfruttiamo la regola dell'esponente, una proprietà dei logaritmi che consente di trasformare l'esponente presente nell'argomento in fattore moltiplicativo.

4x-1=4\ln(|x|)

Una volta divisi i due membri per 4, ricaviamo l'equazione equivalente

\frac{4x-1}{4}=\ln(|x|) \ \ \ \to \ \ \ x-\frac{1}{4}=\ln(|x|)

Dal punto di vista algebrico, le eventuali soluzioni dell'equazione rappresentano le ascisse dei punti di intersezione tra il grafico della funzione

y=\ln(|x|)

e quello della funzione

y=x-\frac{1}{4}

Ciò deriva dal fatto che l'equazione

x-\frac{1}{4}=\ln(|x|)

rappresenta la risolvente del sistema non lineare

\begin{cases}y=x-\frac{1}{4}\\ \\ y=\ln(|x|)\end{cases}

Il grafico di y=x-\frac{1}{4} è relativamente semplice, esso infatti coincide con la retta avente coefficiente angolare m=1 e ordinata all'origine q=-\frac{1}{4}.

Per quanto concerne la funzione logaritmica, dobbiamo avvalerci delle regole per tracciare il grafico intuitivo, in particolare bisogna notare che la funzione si presenta nella forma y=f(|x|) dove f(x)=\ln(x). Proprio perché il valore assoluto è applicato all'argomento, il grafico di y=\ln(|x|) si ottiene tracciando quello di y=\ln(x) e il simmetrico rispetto all'asse delle ascisse.

Esercizi equazioni non risolvibili algebricamente V

In rosso la funzione logaritmica, in blu la funzione lineare affine.

Dalla rappresentazione ricaviamo che l'unico punto di intersezione è A(x_A, y_A) la cui ascissa rappresenta la soluzione dell'equazione. Purtroppo non possiamo ricavare il valore esatto, bensì dobbiamo accontentarci di una sua approssimazione:

x=x_{A}\simeq -0.48

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit
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Os