Disequazione irrazionale con valori assoluti

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Disequazione irrazionale con valori assoluti #70489

avt
Carmela
Punto
Mi aiutereste con la risoluzione di una disequazione irrazionale con due valori assoluti? È questa

\sqrt{\left | x^{2}-x \right |}\leq \left | x-3 \right |

La risolvo impostando un sistema:

\begin{cases}x^{2}-x\geq 0\\ x-3> 0\\ x^{2}-x< x^{2}+9-6x\end{cases}

e mi risulta che il sistema è impossibile, mentre la soluzione dice:

x< 0 \vee  1 \leq x\leq \frac{9}{5}

Grazie in anticipo! emt
 
 

Disequazione irrazionale con valori assoluti #70504

avt
Omega
Amministratore
Ciao Carmela emt

sei stata troppo frettolosa nell'impostazione del sistema.

In accordo con il metodo di risoluzione delle disequazioni irrazionali, caso \sqrt[n]{f(x)}\leq g(x) con n pari, la disequazione irrazionale equivale ad un determinato sistema di disequazioni:

\begin{cases}|x^2-x|\geq 0\\ |x-3|>0\\ |x^2-x|\leq (\ |x-3|\ )^2\end{cases}

Per cominciare ti faccio notare che le condizioni vanno trascritte direttamente con gli argomenti della radice e con il secondo membro, tali e quali a come sono scritti nella traccia.

Ora, il mio consiglio è quello di ripassare la lezione sul valore assoluto. Sì, perché conoscendo per bene la definizione di valore assoluto sappiamo automaticamente che la prima disequazione del sistema ammette come soluzioni \forall x\in\mathbb{R}.

Per quanto riguarda la seconda, sappiamo che il valore assoluto di un numero reale è una quantità positiva o nulla; nulla in particolare se e solo se l'argomento è nullo, per cui dobbiamo escludere una sola eventualità

|x-3|>0\ \mbox{ se e solo se }x-3\neq 0

ossia x\neq 3, condizione che nel linguaggio delle disequazioni si traduce in

x<3\vee x>3

Riscriviamo il sistema prima di passare all'ultima disequazione

\begin{cases}\forall x\in\mathbb{R}\\ x<3\vee x>3\\ |x^2-x|\leq (\ |x-3|\ )^2\end{cases}

e finalmente occupiamocene. Anche qui un po' di ragionamento preventivo ci permette di evitare di fare errori. Sul primo membro non c'è molto da fare, ma sul secondo la presenza del quadrato ci permette di eliminare il valore assoluto!

(\ |x-3|\ )^2=(x-3)^2=x^2-6x+9

dunque ricaviamo

|x^2-x|\leq x^2-6x+9

che è una disequazione con valore assoluto. In accordo con il metodo descritto nella lezione del link, essa equivale all'unione di due sistemi di disequazioni, in cui dobbiamo specificare il segno dell'argomento del modulo

\begin{cases}x^2-x\geq 0\\ +(x^2-x)\leq x^2-6x+9\end{cases}\ \bigcup\ \begin{cases}x^2-x<0\\ -(x^2-x)\leq x^2-6x+9\end{cases}

La risoluzione dei due sistemi è semplice (sono disequazioni di secondo grado) e la lascio a te Passo direttamente ai risultati

\begin{cases}x\leq 0\vee x\geq 1\\ x\leq \frac{9}{5}\end{cases}\ \bigcup\ \begin{cases}0<x<1\\ \forall x\in\mathbb{R}\end{cases}

Il primo sistema ammette come soluzioni: x\leq 0\vee 1\leq x\leq \frac{9}{5}, mentre il secondo sistema 0<x<1.

L'unione delle soluzioni dei due sistemi dà x\leq \frac{9}{5}.


Tornando al sistema originario, abbiamo in definitiva:

\begin{cases}\forall x\in\mathbb{R}\\ x<3\vee x>3\\ x\leq \frac{9}{5}\end{cases}

da cui è evidente che la disequazione irrazionale proposta inizialmente ammette come soluzioni x\leq \frac{9}{5}.


*****
La soluzione che hai riportato non può essere corretta. Nota ad esempio che x=0 e x=\frac{1}{2} soddisfano la disequazione, puoi vederlo procedendo per verifica manuale

\sqrt{|0-0|}\leq |0-3| cioè 0\leq +3

\sqrt{\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right|}\leq \left|\frac{1}{2}-3\right| cioè \frac{1}{2}\leq \frac{5}{2}

D'altronde puoi verificarlo da te utilizzando il risolutore di disequazioni emt
Ringraziano: Pi Greco, Galois
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Os