Esercizio moltiplicazione tra polinomi con numeri periodici

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Esercizio moltiplicazione tra polinomi con numeri periodici #70250

avt
FAQ
Punto
Mi è capitato un esercizio sul prodotto di polinomi che non sono in grado di risolvere. Le mie difficoltà sono dovute al fatto che i coefficienti dei polinomi sono numeri periodici, per cui dovrei passare alle loro frazioni generatrici che però non ricordo più come si calcolano. Potreste aiutarmi, per favore?

Esprimere in forma normale il seguente prodotto tra polinomi

(0,41\overline{6}\ x^2-1,\overline{09})(1,\overline{6}\ x^{2}+0,\overline{6}x-1)

Grazie mille.
 
 

Esercizio moltiplicazione tra polinomi con numeri periodici #70279

avt
Omega
Amministratore
Prima di svolgere i passaggi algebrici che consentono di calcolare il prodotto tra polinomi

(0,41\overline{6}\ x^2-1,\overline{09})(1,\overline{6}\ x^{2}+0,\overline{6}x-1)

occorre associare a ciascun numero periodico la propria frazione generatrice.

Ricordiamo che la frazione generatrice associata a un numero periodico è quella frazione che ha:

- al numeratore la differenza tra il numero privato della virgola e il numero formato dalle cifre che non compongono il periodo;

- al denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell'antiperiodo.

Infine, ma non meno importante, riduciamo la frazione ai minimi termini, se possibile.

Nel nostro caso, le frazioni associate ai numeri periodici sono:

\\ 0,41\overline{6}=\frac{416-41}{900}=\frac{375}{900}=\frac{5}{12} \\ \\ \\ 1,\overline{09}=\frac{109-1}{99}=\frac{108}{99}=\frac{12}{11}\\ \\ \\ 1,\overline{6}=\frac{16-1}{9}=\frac{15}{9}=\frac{5}{3} \\ \\ \\ 0,\overline{6}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}

e, una volta rimpiazzate nell'espressione, il prodotto

(0,41\overline{6}\ x^2-1,\overline{09})(1,\overline{6}\ x^{2}+0,\overline{6}x-1)=

si riscrive nella forma equivalente come:

=\left(\frac{5}{12}x^{2}-\frac{12}{11}\right)\left(\frac{5}{3}x^{2}+\frac{2}{3}x-1\right)=

A questo punto, sommiamo i prodotti che si ottengono moltiplicando ciascun termine del primo polinomio per il secondo

=\frac{5}{12}x^{2}\left(\frac{5}{3}x^{2}+\frac{2}{3}x-1\right)+\left(-\frac{12}{11}\right)\left(\frac{5}{3}x^{2}+\frac{2}{3}x-1\right)=

e svolgiamo le moltiplicazioni tra i monomi e i polinomi associati: dal punto di vista teorico, non stiamo facendo altro che usare la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

\\ =\frac{5}{12}x^{2}\cdot\left(\frac{5}{3}x^{2}\right)+\frac{5}{12}x^{2}\cdot\left(\frac{2}{3}x\right)+\frac{5}{12}x^{2}\cdot (-1)+ \\ \\ \\ +\left(-\frac{12}{11}\right)\left(\frac{5}{3}x^{2}\right)+\left(-\frac{12}{11}\right)\left(+\frac{2}{3}x\right)+\left(-\frac{12}{11}\right)\cdot(-1)=

Portiamo a termine i calcoli, moltiplicando tra loro i coefficienti e le parti letterali. Si noti che per moltiplicare tra loro le parti letterali, dobbiamo avvalerci della regola sul prodotto di due potenze con la stessa base, grazie alla quale determiniamo gli esponenti da attribuire a ciascuna lettera delle parti letterali.

=\left[\frac{5}{12}\cdot\frac{5}{3}\right]x^{4}+\left[\frac{5}{12}\cdot\frac{2}{3}\right]x^{3}-\frac{5}{12}x^{2} +\left[-\frac{12}{11}\cdot\frac{5}{3}\right]x^2+\left[-\frac{12}{11}\cdot\frac{2}{3}\right]x+\frac{12}{11}=

Svolgiamo le moltiplicazioni tra le frazioni, usando la regola dei segni per determinare i segni ai vari prodotti.

=\frac{25}{36}x^{4}+\frac{5}{18}x^{3}-\frac{5}{12}x^{2}-\frac{20}{11}x^{2}-\frac{8}{11}x+\frac{12}{11}=

Non abbiamo ancora finito: il polinomio ottenuto non è espresso in forma normale, infatti vi compaiono due monomi simili che possono essere sommati tra loro.

=\frac{25}{36}x^{4}+\frac{5}{18}x^{3}+\left(-\frac{5}{12}-\frac{20}{11}\right)x^{2}-\frac{8}{11}x+\frac{12}{11}=

Addizioniamo le frazioni, dopo averle espresse a denominatore comune

\\ =\frac{25}{36}x^{4}+\frac{5}{18}x^{3}+\left(\frac{-55-240}{132}\right)x^{2}-\frac{8}{11}x+\frac{12}{11}= \\ \\ \\ =\frac{25}{36}x^{4}+\frac{5}{18}x^{3}-\frac{295}{132}x^{2}-\frac{8}{11}x+\frac{12}{11}

È fatta!
Ringraziano: danying
  • Pagina:
  • 1
Os