Equazione esponenziale con il metodo grafico

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Equazione esponenziale con il metodo grafico #70226

avt
panda89
Punto
Potreste darmi una mano per determinare le soluzioni di un'equazione non risolvibile elementarmente in cui compare una funzione esponenziale? Il testo mi impone di avvalermi del metodo grafico per risolvere l'equazione, però non sono in grado di tracciare il grafico delle funzioni in gioco.

Risolvere la seguente equazione avvalendosi del metodo grafico

x+1=e^{x}(x-1)

Grazie.
 
 

Equazione esponenziale con il metodo grafico #70229

avt
BleakHeart
Frattale
Consideriamo l'equazione

x+1=e^{x}(x-1)

Essa è un'equazione non risolvibile elementarmente, infatti non siamo in grado di ricondurla a nessuna forma notevole.

Tentiamo quindi un approccio differente: utilizziamo il metodo grafico che consiste nell'esprimere l'equazione nella forma

f(x)=g(x)

dove f(x)\ \mbox{e}\ g(x) sono funzioni nella variabile x facilmente rappresentabili sul piano cartesiano.

È opportuno sottolineare che effettivamente l'equazione è già nella forma richiesta, infatti f(x)\ \mbox{e} \ g(x) valgono rispettivamente

f(x)=x+1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ g(x)=e^{x}(x-1)

Se da un lato f(x) è facile da rappresentare - è una funzione lineare affine - dall'altro bisognerebbe procedere con un veloce studio di funzione per ricavare il grafico di g(x), prodotto tra una funzione esponenziale e una polinomiale.

Facciamoci furbi e cerchiamo un modo per bypassare lo studio di funzione, sebbene sia abbastanza semplice da effettuare: il trucco consiste nel determinare un'equazione equivalente a quella data i cui membri siano facili da rappresentare.

Osserviamo che per x=1, l'equazione diventa

1+1=e^{1}(1-1) \ \ \ \to \ \ \ 2=0

pertanto x=1 non è soluzione dell'equazione. Per x\ne 1, \ x-1\ne 0 di conseguenza siamo autorizzati a dividere i due membri dell'equazione per tale termine ricavando così la relazione

\frac{x+1}{x-1}=e^{x}

Potremmo pensare che sia stato un passaggio inutile, ma non è così! Siamo infatti in grado di tracciare sia il grafico di

y=\frac{x+1}{x-1}\ \ \ \mbox{con} \ x\ne 1

che quello di

y=e^{x}

Se da un lato, il grafico della funzione esponenziale è noto, dall'altro quello di

y=\frac{x+1}{x-1}

richiede alcune considerazioni aggiuntive. Per prima cosa, sottolineiamo che siamo in presenza di una funzione omografica, vale a dire una espressione del tipo

y=\frac{ax+b}{cx+d}

dove

a=1, \ b=1, \ c=1\ \mbox{e} \ d=-1

Nel piano cartesiano Oxy, la relazione

y=\frac{x+1}{x-1}

individua un'iperbole passante per il punto (0,-1) e le cui equazioni degli asintoti sono date da

\\ y=\frac{a}{c}\ \ \ \to \ \ \ y=1 \\ \\ \\ x=-\frac{d}{c}\ \ \ \to \ \ \ x=-\frac{-1}{1}=1

Tracciando il grafico delle due funzioni nel medesimo piano cartesiano otterremo:

Esercizi equazioni non risolvibili algebricamente VI

Da esso deduciamo che le due funzioni si intersecano in due punti distinti A(x_A, y_A)\ \mbox{e} \ B(x_B, y_B) e le loro ascisse, x_A\ \mbox{e} \ x_B, rappresentano le soluzioni dell'equazione data. Purtroppo non siamo in grado di determinare i valori esatti di x_A\ \mbox{e di}\ x_B, siamo però capaci di fornire le loro approssimazioni, in particolare:

x_A\simeq -1.5\ \ \ \mbox{e}\ \ \ x_B\simeq 1.5

Possiamo concludere quindi che le soluzioni approssimate dell'equazione sono

x\simeq -1.5\ \ \ \mbox{e} \ \ \ x\simeq 1.5

Esercizio risolto.
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Os