Disequazione irrazionale con somma di due radici

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Disequazione irrazionale con somma di due radici #70106

avt
pianoman
Punto
Buonasera, ho una disequazione irrazionale in cui c'è la somma di due radici e non riesco a risolverla. Sono nuovo del forum, ho letto alcune recensioni riguardo questo sito e devo dire che ne sono rimasto colpito...

\sqrt{3x+\sqrt{3}}+\sqrt{2x-1}+9\sqrt{2}>0


Ho provato a fare il sistema con

\begin{cases}2x-1\geq 0\\ 3x+\sqrt{3}\geq 0\\ 9\sqrt{2}>0\end{cases}

ma elevando al quadrato mi vengono dei calcoli enormi e lunghi poiché rientra anche il doppio prodotto. (Elevazione al quadrato inclusa nel sistema) Aiutatemi per favore...

Il risultato è: x\geq\frac{1}{2}.
 
 

Disequazione irrazionale con somma di due radici #70109

avt
alexn6
Punto
[EDIT - MOD: Omega] Attenzione: risposta imprecisa. Leggere la discussione fino in fondo. [/EDIT]


In realtà è molto più facile di quello che sembra.
Hai che la somma di 3 termini deve essere maggiore di 0, e sai già, che siccome compaiono 3 radicali tutti questi termini devono essere positivi dato che una radice quadrata quando esiste è sempre un numero positivo.
Mettendo insieme queste informazioni tu sai che l'insieme delle soluzioni non è altro che tutti quei valori di x per i quali l'espressione ha significato, ovvero il dominio di tutte quelle radici.

In particolare in questo caso deve essere

3x+\sqrt{3}>0


il che implica


x>\frac{-\sqrt{3}}{3}

e

2x-1>0

il che implica

x>\frac{1}{2}

mettendo a sistema le due soluzioni è chiaro quindi che la soluzione è

x>\frac{1}{2}

Disequazione irrazionale con somma di due radici #70113

avt
Omega
Amministratore
Ciao Pianoman,

a discapito delle apparenze, la disequazione che hai proposto si risolve velocemente. È sufficiente avere la giusta intuizione... emt

In genere le disequazioni con due radici con incognita nel radicando richiedono di applicare il metodo di risoluzione per le disequazioni irrazionali ed in particolare di separare le due radici (una in un membro, l'altra nell'altro) in modo da evitare il doppio prodotto dopo aver elevato al quadrato.

La tua disequazione invece non richiede nemmeno un elevamento al quadrato. emt Infatti basta ricordare che la radice quadrata, e più in generale le radici con indice pari, sono positive sul proprio insieme di definizione e che alla peggio sono nulle se il radicando è nullo.

In parole povere una radice ad indice pari non può essere negativa.

Tenendo a mente la precedente osservazione, possiamo riscrivere la disequazione nella forma

\sqrt{3x+\sqrt{3}}>-\sqrt{2x-1}-9\sqrt{2}

Qual è l'insieme su cui tale disequazione ha significato? Per scoprirlo dobbiamo imporre le condizioni di esistenza, risolvendo un opportuno sistema di disequazioni

\begin{cases}3x+\sqrt{3}\geq 0\\ 2x-1\geq 0\end{cases}

che diventa

\begin{cases}x\geq -\frac{\sqrt{3}}{3}\\ x\geq \frac{1}{2}\end{cases}\ \Rightarrow\ x\geq \frac{1}{2}

Ok. emt Ora riprendiamo la disequazione con le due radici separate nei due membri

\sqrt{3x+\sqrt{3}}>-\sqrt{2x-1}-9\sqrt{2}

e ragioniamo. Il primo membro è certamente positivo sull'insieme di definizione. Il primo addendo del secondo membro è negativo o alla peggio nullo sull'insieme di definizione, ed infine il secondo addendo del secondo membro è negativo.

In particolare, per x\geq \frac{1}{2} il primo membro è positivo mentre il secondo membro è negativo.

La disequazione è sempre verificata sull'insieme di definizione, e quindi tutte e sole le soluzioni sono date da

x\geq \frac{1}{2}

È altrettanto evidente che la soluzione che hai riportato è sbagliata: l'insieme delle soluzioni è \{x\in\mathbb{R}\ :\ x\geq \frac{1}{2}\} e non solamente \{x\in\mathbb{R}\ :\ x> \frac{1}{2}\}. D'altronde puoi verificare facilmente che x=\frac{1}{2} è una soluzione... emt
Ringraziano: Pi Greco

Disequazione irrazionale con somma di due radici #70115

avt
Omega
Amministratore
Ciao Alex6n, non ho fatto in tempo a leggere la tua risposta dato che ero già in fase di scrittura. emt

Devi essere più preciso e fare più attenzione

dato che una radice quadrata quando esiste è sempre un numero positivo.

questa frase non è corretta. Piuttosto una radice quadrata, quando esiste, è sempre un numero non negativo (positivo o nullo).

Anche le successive condizioni che hai scritto sono incomplete, perché devono includere anche l'uguaglianza.
Ringraziano: Iusbe

Disequazione irrazionale con somma di due radici #70116

avt
pianoman
Punto
Grazie mille! Il miglior forum sulla matematica che abbia mai visto! Siete fantastici! emt emt
Ringraziano: Omega, BleakHeart
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Os