Scomporre un polinomio con l'equazione di secondo grado associata

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Scomporre un polinomio con l'equazione di secondo grado associata #69863

avt
FAQ
Punto
Mi serve una mano per scomporre un trinomio, dopo aver ricavato le soluzioni dell'equazione di secondo grado associata. È la prima volta che svolgo un esercizio simile e non so proprio da dove partire.

Scomporre il seguente polinomio dopo aver ricavato le eventuali soluzioni dell'equazione associata.

3x^2-11x+6

Grazie mille.
Ringraziano: Omega, Ifrit
 
 

Scomporre un polinomio con l'equazione di secondo grado associata #69892

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio ci chiede di scomporre il polinomio

3x^2-11x+6

usando una tecnica di fattorizzazione ben precisa: la scomposizione tramite l'equazione associata.

Questo metodo prevede di:

- considerare l'equazione di secondo grado associata al polinomio dato, ossia:

3x^2-11x+6=0

- ricavare con la formula del discriminante le sue soluzioni x_{1}\ \mbox{e} \ x_2, se esistono. Nel caso in cui l'equazione non ammetta soluzioni, il polinomio è irriducibile.

- Usare la relazione

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

dove a,\ b\ \mbox{e} \ c sono rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto del polinomio.

Dopo il brevissimo preambolo teorico, occupiamoci del polinomio 3x^2-11x+6 a cui associamo l'equazione:

3x^2-11x+6=0

Poniamo a=3, \ b=-11\ \mbox{e} \ c=6 e calcoliamo il discriminante con la relazione:

\Delta=b^2-4ac=(-11)^2-4\cdot 3\cdot 6=49

Poiché \Delta>0, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte, ottenibili con la formula:

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-11)\pm\sqrt{49}}{2\cdot 3}= \\ \\ \\ =\frac{11\pm 7}{6}=\begin{cases}\frac{11-7}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}=x_1\\ \\ \frac{11+7}{6}=\frac{18}{6}=3=x_2\end{cases}

In accordo con la teoria, il polinomio iniziale si scompone sfruttando la relazione

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

che ci autorizza a scrivere la seguente uguaglianza:

3x^2-11x+6=3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-3\right)=(3x-2)(x-3)

Possiamo concludere pertanto che la scomposizione del polinomio 3x^2-11x+6 è:

(3x-2)(x-3)

Ecco fatto.
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