Polinomio con 6 termini con la regola della differenza di quadrati

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Polinomio con 6 termini con la regola della differenza di quadrati #69822

avt
Julien
Cerchio
Mi serve una mano per risolvere un esercizio sulla scomposizione di un polinomio con la regola sulla differenza di quadrati, da usare in combinazione con la regola sul quadrato di binomio.

Scomporre in fattori il seguente polinomio, riducendolo prima a differenza di due quadrati.

a^2+4b^2+4ab-x^4-4-4x^2

Grazie.
Ringraziano: Heisenberg Cooper
 
 

Polinomio con 6 termini con la regola della differenza di quadrati #69825

avt
Heisenberg Cooper
Cerchio
Il nostro compito consiste nello scomporre il polinomio

a^2+4b^2+4ab-x^4-4-4x^2

in fattori riconducendo alla differenza di due quadrati, così da poter utilizzare il prodotto notevole

A^2-B^2=(A+B)(A-B)

Per poterlo fare, abbiamo bisogno della regola sullo sviluppo del quadrato di un binomio

A^2+2AB+B^2=(A+B)^2

Analizziamo il polinomio

a^2+4b^2+4ab-x^4-4-4x^2=

raccogliamo il segno meno negli ultimi tre termini

=a^2+4b^2+4ab-(x^4+4+4x^2)

e osserviamo che:

- i primi tre termini formano il quadrato di a+2b, infatti a^2 è il quadrato di a, 4b^2 è il quadrato di 2b mentre 4ab è il doppio prodotto tra a \ \ mbox{e} \ 2b;

- i termini all'interno delle parentesi tonde sono lo sviluppo del quadrato di x^2+2, infatti x^4 è il quadrato di x^2,\ 4 è il quadrato di 2 e infine 4x^2 è il doppio prodotto del primo termine per il secondo.

Siamo quindi autorizzati a scrivere la seguente uguaglianza

a^2+4b^2+4ab-(x^4+4+4x^2)=(a+2b)^2-(x^2+2)^2=

da cui scaturisce la differenza dei due quadrati richiesta, pertanto possiamo scrivere:

\\ =(a+2b+x^2+2)(a+2b-(x^2+2))= \\ \\ =(a+2b+x^2+2)(a+2b-x^2-2)

Abbiamo finito.
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