Esercizio equazione trigonometrica elementare con coseno

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Esercizio equazione trigonometrica elementare con coseno #69636

avt
FAQ
Punto
Mi servirebbe il vostro aiuto per risolvere un'equazione goniometrica elementare con il coseno: dopo averla espressa in forma normale, e aver usato la circonferenza goniometrica come spiegato dal mio professore, i risultati che ottengo non coincidono con quelli proposti dal libro.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione trigonometrica

2\cos(x)=\sqrt{2}

Grazie.
Ringraziano: Omega
 
 

Esercizio equazione trigonometrica elementare con coseno #75446

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il nostro compito consiste nel risolvere l'equazione goniometrica elementare

2\cos(x)=\sqrt{2}

ma prima occorre svolgere i passaggi algebrici che consentono di esprimerla in forma normale: nulla di complicato, è sufficiente isolare il coseno al primo membro, dividendo a destra e a sinistra per 2.

\cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}

Ora che l'equazione è in forma normale, ci aiuteremo con la circonferenza goniometrica per ricavare le soluzioni riferite all'intervallo 0\le x<2\pi.

Procediamo con ordine: disegniamo un sistema di assi cartesiani OXY, tracciamo la circonferenza goniometrica (circonferenza di centro nell'origine e raggio 1) e infine rappresentiamo la retta di equazione X=\frac{\sqrt{2}}{2}.

La retta verticale interseca la circonferenza in due punti che, congiunti col centro, formano due raggi. Quest'ultimi individuano due angoli (in senso antiorario) con l'asse delle ascisse positive che rappresentano le soluzioni dell'equazione riferite all'intervallo 0\le x<2\pi.

In base alla tabella dei valori noti del coseno, le ampiezze dei due angoli sono:

x=\frac{\pi}{4}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ x=\frac{7\pi}{4}

Esercizi equazioni goniometriche elementari 7

Attenzione! I numeri ottenuti rappresentano le sole soluzioni che appartengono all'intervallo [0,2\pi); non sono tutte le soluzioni! Nulla di preoccupante, le altre si ricavano sfruttando la ]periodicità del coseno: basta aggiungere 2k\pi alle soluzioni ottenute.

x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega
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Os