Equazione di grado superiore al secondo per sostituzione

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#69632
avt
ermagnus95
Cerchio
Riscontro alcune difficoltà nel risolvere un'equazione che, almeno dal punto di vista teorico si riconduce a un'equazione binomia di grado superiore al secondo grazie a una sostituzione. Io ho impostato e risolto l'esercizio, ma i miei risultati sono sbagliati. Spero possiate darmi una mano.

Risolvere la seguente equazione riconducendosi a un'equazione binomia mediante un'opportuna sostituzione

(2x^2-3)^4-16 = 0

Grazie.
Ringraziano: Omega
#69646
avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione

(2x^2-3)^4-16 = 0

e per prima cosa osserviamo che non conviene assolutamente sviluppare la potenza di binomio al primo membro: pregiudicheremmo l'estetica in cui l'equazione si presenta.

In realtà è proprio la forma dell'equazione a suggerire una sostituzione che consenta di ridurre drasticamente i calcoli e di ricondurci a un'equazione binomia. Tale sostituzione è

t = 2x^2-3

mediante la quale otteniamo un'equazione binomia di quarto grado nell'incognita t

t^4-16 = 0

Risolviamola isolando la potenza t^4 al primo membro

t^(4) = 16

dopodiché estraiamo la radice quarta così da ricavare le due soluzioni nell'incognita t

t = -[4]√(16) → t = -2 ; t = [4]√(16) → t = 2

Purtroppo l'esercizio non è concluso, dobbiamo infatti ripristinare l'incognita x tenendo conto della sostituzione fatta. Poiché t = 2x^2-3, la relazione t = -2 si traduce in

2x^2-3 = -2

che a conti fatti è un'equazione pura giacché manca il termine in x. Risolviamola trasportando i termini noti al secondo membro

2x^2 = 1

e dividendo i due membri per 2

x^2 = (1)/(2)

Da tale equazione ricaviamo due soluzioni reali e distinte

x = -√((1)/(2)) , x = √((1)/(2))

che grazie alle proprietà dei radicali possiamo riscrivere nella forma equivalente

x = -(1)/(√(2)) , x = (1)/(√(2))

La seconda relazione in t, vale a dire t = 2 si tramuta nell'equazione

2x^2-3 = 2

che dopo qualche passaggio algebrico diventa

x^2 = (5)/(2)

Da essa otteniamo altre due soluzioni

x = -√((5)/(2)) , x = √((5)/(2))

In conclusione, l'equazione iniziale ammette quattro soluzioni

x_(1,2) = ±√((5)/(2)) , x_(3,4) = ±(1)/(√(2))

di conseguenza l'insieme delle soluzioni associato è

S = -√((5)/(2)), -(1)/(√(2)), (1)/(√(2)), √((5)/(2))

Ecco fatto!
Ringraziano: Iusbe
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