Esercizio equazione di grado 10 #69619

avt
Ferpid
Punto
Dovrei risolvere un esercizio sulle equazioni binomie di grado superiore al secondo davvero molto particolare. Dal punto di vista estetico, l'equazione non sembra affatto binomia ma il libro la considera tale e sinceramente non capisco perché.

Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione

(3x+5)^{10}-1=0

riconducendosi a un'equazioni binomia con un'opportuna sostituzione.

Grazie.
 
 

Esercizio equazione di grado 10 #69620

avt
Iusbe
Templare
Il nostro obiettivo consiste nel risolvere l'equazione

(3x+5)^{10}-1=0

riconducendoci in qualche modo a un'equazione binomia. Diciamo sin da subito che è controproducente svolgere la potenza del binomio (3x+5)^{10}: otterremo un polinomio di grado 10 e l'equazione non ne guadagnerebbe in termini di estetica.

In questa situazione, la strategia vincente si compone di tre passi. Per prima cosa poniamo

t=3x+5

così che l'equazione si possa esprimere come

t^{10}-1=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione binomia di decimo grado nell'incognita t che possiamo risolvere isolando la potenza decima al primo membro

t^{10}=1

Da essa ricaviamo due relazioni nell'indeterminata t

t=-1 \ \ \ \mbox{oppure} \ \ \ t=1

Attenzione, non abbiamo ancora finito, dobbiamo infatti ripristinare l'incognita x tenendo conto della sostituzione fatta.

Poiché t=3x+5, le due relazioni si traducono in due equazioni di primo grado

\\ t=-1 \ \ \ \to \ \ \ 3x+5=-1 \\ \\ t=1\ \ \ \to \ \ \ 3x+5=1

che risolviamo partendo dalla prima:

3x+5=-1\ \ \ \to \ \ \ 3x=-6 \ \ \ \to \ \ \ x=-2

Procedendo allo stesso modo per la seconda equazione ricaviamo:

3x+5=1 \ \ \ \to \ \ \ 3x=-4 \ \ \ \to \ \ \ x=-\frac{4}{3}

In definitiva possiamo concludere che l'insieme delle soluzioni associato all'equazione di partenza è:

S=\left\{-2,\ -\frac{4}{3}\right\}

Abbiamo finito.
Ringraziano: CarFaby, Ferpid
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Os