Equazione con esponenziale e radice non risolvibile algebricamente

Dovrei risolvere un'equazione con seno e esponenziale avvalendomi del metodo grafico, però c'è un problema: non riesco a capire come rappresentare le funzioni nel piano cartesiano. Avevo pensato di effettuare uno studio di funzione, però perdo un sacco di tempo, c'è sicuramente una strategia diversa.

Utilizzare il metodo grafico per determinare le soluzioni della seguente equazione



Grazie.

Il nostro compito consiste nel calcolare le soluzioni dell'equazione



nella quale si manifestano una funzione esponenziale e una funzione irrazionale. Purtroppo non è possibile ricondurla a nessuna tipologia notevole, per questo motivo possiamo affermare che è un'equazione non risolvibile elementarmente: non è un caso, infatti, che il testo suggerisca di procedere con il metodo grafico.

Prima di procedere con i passaggi, bisogna innanzitutto imporre le condizioni affinché la relazione abbia senso, in particolare dobbiamo richiedere che il radicando sia non negativo, in caso contrario la radice quadrata smetterebbe di esistere.

La condizione di esistenza è quindi



ossia una semplice disequazione di secondo grado che risolviamo con qualche passaggio:



L'equazione è quindi ben posta se l'incognita soddisfa il vincolo



Ora siamo autorizzati a procedere con la risoluzione: utilizzeremo il metodo grafico, non prima di aver operato una sostituzione che ci aiuterà nei calcoli. Poniamo così che l'equazione diventi



Sia chiaro, la natura della relazione non è stata modificata - è sempre un'equazione non risolvibile algebricamente - però almeno sarà più semplice usare il metodo grafico.

Prima di tutto esprimiamo l'equazione nella forma equivalente



dove sono funzioni di cui è facile tracciare il grafico. Nel caso in esame, possiamo pensar bene di isolare la funzione esponenziale al primo membro e scrivere la relazione



che può essere interpretata come la risolvente del sistema non lineare



Da ciò si deduce che le soluzioni dell'equazione in rappresentano le ascisse dei punti di intersezione tra la funzione esponenziale



e la funzione lineare affine



Per poter ricavare tali punti di intersezione (se esistono) rappresentiamo il grafico delle due funzione nel medesimo piano cartesiano : sia il grafico della funzione esponenziale che quello della funzione lineare affine dovrebbero essere noti. Volendo essere maniacalmente precisi,



individua nel piano la retta con coefficiente angolare e ordinata all'origine .

Una volta rappresentate le curve, ricaviamo il seguente grafico


da cui si evince che vi è un unico punto di intersezione la cui ascissa rappresenta l'unica soluzione dell'equazione in : è opportuno verificarlo per averne la certezza! Per , l'equazione in diventa



Non abbiamo ancora finito, dobbiamo ripristinare l'incognita . Ricordando che , la relazione si tramuta nell'equazione irrazionale



Per risolverla, basta ricordare che la radice quadrata è uguale a zero se e solo se il suo radicando è nullo, pertanto la precedente relazione ha le medesime soluzioni dell'equazione di secondo grado:



Possiamo concludere quindi che l'equazione



ammette due soluzioni: . Abbiamo terminato.