Equazione con esponenziale e radice non risolvibile algebricamente

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Equazione con esponenziale e radice non risolvibile algebricamente #69436

avt
Kiffede
Cerchio
Dovrei risolvere un'equazione con seno e esponenziale avvalendomi del metodo grafico, però c'è un problema: non riesco a capire come rappresentare le funzioni nel piano cartesiano. Avevo pensato di effettuare uno studio di funzione, però perdo un sacco di tempo, c'è sicuramente una strategia diversa.

Utilizzare il metodo grafico per determinare le soluzioni della seguente equazione

e^{\sqrt{4-x^2}}-\sqrt{4-x^2}-1=0

Grazie.
 
 

Equazione con esponenziale e radice non risolvibile algebricamente #69616

avt
Iusbe
Templare
Il nostro compito consiste nel calcolare le soluzioni dell'equazione

e^{\sqrt{4-x^2}}-\sqrt{4-x^2}-1=0

nella quale si manifestano una funzione esponenziale e una funzione irrazionale. Purtroppo non è possibile ricondurla a nessuna tipologia notevole, per questo motivo possiamo affermare che è un'equazione non risolvibile elementarmente: non è un caso, infatti, che il testo suggerisca di procedere con il metodo grafico.

Prima di procedere con i passaggi, bisogna innanzitutto imporre le condizioni affinché la relazione abbia senso, in particolare dobbiamo richiedere che il radicando sia non negativo, in caso contrario la radice quadrata smetterebbe di esistere.

La condizione di esistenza è quindi

C.E.:\ 4-x^2\ge 0

ossia una semplice disequazione di secondo grado che risolviamo con qualche passaggio:

4-x^2\ge 0 \ \ \ \to \ \ \  x^2\le 4 \ \ \ \to \ \ \ -2\le x\le 2

L'equazione è quindi ben posta se l'incognita soddisfa il vincolo

C.E.:\ -2\le x\le 2

Ora siamo autorizzati a procedere con la risoluzione: utilizzeremo il metodo grafico, non prima di aver operato una sostituzione che ci aiuterà nei calcoli. Poniamo t=\sqrt{4-x^2} così che l'equazione diventi

e^{t}-t-1=0

Sia chiaro, la natura della relazione non è stata modificata - è sempre un'equazione non risolvibile algebricamente - però almeno sarà più semplice usare il metodo grafico.

Prima di tutto esprimiamo l'equazione nella forma equivalente

f(t)=g(t)

dove f(t)\ \mbox{e} \ g(t) sono funzioni di cui è facile tracciare il grafico. Nel caso in esame, possiamo pensar bene di isolare la funzione esponenziale al primo membro e scrivere la relazione

e^{t}=t+1

che può essere interpretata come la risolvente del sistema non lineare

\begin{cases}y=e^{t}\\ \\ y=t+1\end{cases}

Da ciò si deduce che le soluzioni dell'equazione in t rappresentano le ascisse dei punti di intersezione tra la funzione esponenziale

y=e^{t}

e la funzione lineare affine

y=t+1

Per poter ricavare tali punti di intersezione (se esistono) rappresentiamo il grafico delle due funzione nel medesimo piano cartesiano Oty: sia il grafico della funzione esponenziale che quello della funzione lineare affine dovrebbero essere noti. Volendo essere maniacalmente precisi,

y=t+1

individua nel piano Oty la retta con coefficiente angolare m=1 e ordinata all'origine q=1.

Una volta rappresentate le curve, ricaviamo il seguente grafico