Equazione di primo grado a coefficienti irrazionali

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Equazione di primo grado a coefficienti irrazionali #6934

avt
lux
Cerchio
Sono qui per un dubbio su un'equazione con i radicali, è un'equazione di primo grado.

Risolvere la seguente equazione di primo grado a coefficienti irrazionali

\sqrt{3}x= \sqrt{6}+\sqrt{27}


L'ho svolta varie volte e il risultato è x=\sqrt{2}+3, mentre io mi trovo \sqrt{2}\cdot\sqrt{3}+3.

Grazie per il prezioso aiuto!
 
 

Equazione di primo grado a coefficienti irrazionali #6948

avt
Omega
Amministratore
Vediamo un po' come risolvere l'equazione di primo grado a coefficienti irrazionali

\sqrt{3}x=\sqrt{6}+\sqrt{27}

Dividiamo entrambi i membri per \sqrt{3}. Effettuando la stessa operazione sia a sinistra che a destra dell'uguale, l'uguaglianza si mantiene e dormiamo tutti sonni tranquilli.

Se effettuiamo la divisione

\\ \frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{27}}{\sqrt{3}} \\ \\ \\ x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{27}}{\sqrt{3}}

abbiamo la soluzione. Potremmo però, e anzi dovremmo, razionalizzare il risultato moltiplicando e dividendo per \sqrt{3}:

x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{27}}{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

da cui

x=\frac{\sqrt{6}\sqrt{3}+\sqrt{27}\sqrt{3}}{3}

Usando le proprietà dei radicali otteniamo inoltre

x=\frac{\sqrt{18}+\sqrt{81}}{3}

A questo punto riscriviamo le radici fattorizzando i radicandi

\\ x=\frac{\sqrt{2\cdot 9}+\sqrt{9^2}}{3} \\ \\ \\ x=\frac{3\sqrt{2}+9}{3}

Dividiamo termine a termine

x=\frac{3\sqrt{2}}{3}+\frac{9}{3}

e abbiamo la soluzione

x=\sqrt{2}+3

Ecco fatto!

Metodo alternativo

Consideriamo l'equazione di primo grado a coefficienti irrazionali

\sqrt{3}x=\sqrt{6}+\sqrt{27}

Per prima cosa, scomponiamo in fattori primi i radicandi al secondo membro

\sqrt{3}x=\sqrt{2\cdot 3}+\sqrt{3^3}

dopodiché sfruttiamo la proprietà relativa alla radice di un prodotto che consente di esprimere \sqrt{2\cdot 3} come \sqrt{2}\sqrt{3}.

\sqrt{3}x=\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}+\sqrt{3^3}

Mediante la regola del trasporto fuori dalla radice, inoltre, siamo in grado di trasformare \sqrt{3^3} come 3\sqrt{3}

\sqrt{3}x=\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}+3\sqrt{3}

Nel membro di destra compare una somma tra radicali simili, pertanto scriveremo

\sqrt{3}x=(\sqrt{2}+3)\sqrt{3}

A questo punto non ci resta che isolare l'incognita al primo membro dividendo i due membri per \sqrt{3}

x=\frac{(\sqrt{2}+3)\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

Non ci resta che semplificare \sqrt{3} e concludere che la soluzione è:

x=\sqrt{2}+3

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, RichardMaths, rbrains
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Os