Equazione di quarto grado con i radicali

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Equazione di quarto grado con i radicali #69296

avt
asd
Punto
Mi è capitato un esercizio in cui devo determinare l'insieme delle soluzioni di un'equazione binomia di quarto grado a coefficienti irrazionali. A conti fatti, l'equazione non sembra difficile ma non mi torna il risultato ecco perché chiedo il vostro aiuto.

Determinare l'insieme delle soluzioni dell'equazione binomia

(1+\sqrt{2})x^4+\frac{16}{1-\sqrt{2}}=0

Grazie.
 
 

Equazione di quarto grado con i radicali #69338

avt
Omega
Amministratore
Prima di risolvere l'equazione binomia

(1+\sqrt{2})x^4+\frac{16}{1-\sqrt{2}}=0

effettuiamo alcune considerazioni preliminari. Prima di tutto notiamo che il grado del polinomio al primo membro è pari, pertanto bisogna prestare la massima attenzione sui segni dei coefficienti, in base ai quali l'equazione può essere determinata o impossibile.

In questo caso 1+\sqrt{2} e \frac{16}{1-\sqrt{2}} sono discordi, dunque l'equazione è certamente determinata.

Per determinare le soluzioni isoliamo la potenza x^4 al primo membro, trasportando il termine noto al secondo

(1+\sqrt{2})x^4=-\frac{16}{1-\sqrt{2}}

dopodiché dividiamo i due membri per 1+\sqrt{2}, così da ottenere l'equazione equivalente

x^4=-\frac{16}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}

Moltiplichiamo tra loro i radicali a denominatore usando la regola relativa al prodotto di una somma per una differenza

x^4=-\frac{16}{1-2} \ \ \ \to \ \ \ x^4=16

Dall'ultima relazione scopriamo che le soluzioni sono:

\\ x_1=-\sqrt[4]{16}\ \ \ \to \ \ \ x_1=-2\\ \\ x_2=+\sqrt[4]{16}\ \ \ \to \ \ \ x_2=2

Possiamo concludere quindi che l'insieme delle soluzioni associato all'equazione è:

S=\left\{-2,2\right\}

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Iusbe
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Os