Ricondurre un polinomio con esponenti letterali a una differenza di quadrati

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Ricondurre un polinomio con esponenti letterali a una differenza di quadrati #69283

avt
ild0tt0re
Cerchio
Ho bisogno di una mano per scomporre un polinomio a esponenti letterali con la regola relativa alla differenza di quadrati. Il mio problema risiede nel fatto che prima di usare la regola, dovrei ricondurre il polinomio dato alla forma nota sfruttando altri prodotti notevoli.

Scomporre in fattori il seguente polinomio, riconducendolo prima a differenza di due quadrati.

a^{2n}+2a^n+1-b^{4n} \ \ \ \mbox{con} \ n\ge 1

Grazie.
 
 

Ricondurre un polinomio con esponenti letterali a una differenza di quadrati #69728

avt
CarFaby
Templare
Per poter scomporre il polinomio

a^{2n}+2a^n+1-b^{4n} \ \ \ \mbox{con} \ n\ge 1

con la regola sulla differenza di quadrati

A^2-B^2=(A+B)(A-B)

bisogna innanzitutto riscriverlo in modo che sia effettivamente una differenza tra due termini quadratici. Per fare in modo che ciò avvenga, osserviamo che il trinomio a^{2n}+2a^n+1 è in realtà lo sviluppo del quadrato di a^n+1, infatti:

- il termine a^{2n} è il quadrato di a^{n};

- il termine 1 è il quadrato di se stesso;

- il termine 2a^n rappresenta il doppio prodotto tra a^{n} \ \ \mbox{e} \ \ 1,

di conseguenza:

a^{2n}+2a^n+1-b^{4n}=(a^{n}+1)^{2}-b^{4n}

Osserviamo che b^{4n} è il quadrato di (b^{2n})^2: le proprietà delle potenze, e più precisamente per la regola sulla potenza di una potenza, consentono di scrivere le uguaglianze

b^{4n}=b^{2\cdot 2n}=(b^{2n})^2

L'espressione diventa quindi

\\ (a^{n}+1)^{2}-b^{4n}=(a^{n}+1)^{2}-(b^{2n})^2=

Ci siamo quindi ricondotti alla differenza tra il quadrato di a^n+1 e il quadrato di b^{2n} e in accordo con la regola, scriviamo la scomposizione associata al polinomio.

=(a^n+1+b^{2n})(a^n+1-b^{2n})

Abbiamo terminato.
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Os