Equazione fratta e logaritmica

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Equazione fratta e logaritmica #69027

Stirpy Punto	Ho provato a risolvere un'equazione fratta con i logaritmi, senza riuscire nell'intento. Potreste darmi una mano per favore? Determinare le eventuali soluzioni della seguente equazione logaritmica fratta. $\frac{\ln(x^2+2x-8)}{\ln(x+12)}=1$ Grazie mille.

Equazione fratta e logaritmica #69088

Omega

Amministratore

Prima di determinare le eventuali soluzioni dell'equazione fratta

$\frac{\ln(x^2+2x-8)}{\ln(x+12)}=1$

bisogna necessariamente impostare le condizioni di esistenza. Affinché i logaritmi siano ben definiti, bisogna imporre che i loro argomenti siano maggiori di zero. Poiché l'incognita compare a denominatore, richiederemo che esso sia diverso da zero.

Le condizioni devono valere contemporaneamente, ecco perché formano il seguente sistema di disequazioni

$\begin{cases}x^2+2x-8>0\\ \\ x+12>0\\ \\ \ln(x+12)\ne 0\end{cases}$

Risolviamole singolarmente, partendo dalla disequazione di secondo grado

Ricaviamo le soluzioni dell'equazione associata con la formula del discriminante

$\\ x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{4-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{36}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{-2\pm 6}{2}=\begin{cases}-\frac{8}{2}=-4=x_1\\ \\ \frac{4}{2}=2=x_2\end{cases}$

Poiché il coefficiente di

è maggiore di zero, la disequazione è soddisfatta per valori esterni, vale a dire:

$x<-4 \ \ \ , \ \ \ x>2$

Occupiamoci della disequazione di primo grado

$x+12>0 \ \ \ \to \ \ \ x>-12$

e infine dell'ultima relazione, trattandola alla stregua di un'equazione logaritmica

$\ln(x+12)\ne 0$

Per

, applichiamo l'esponenziale ai due membri

$x+12\ne 1 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -11$

A questo punto, intersechiamo le relazioni e scriviamo l'insieme di esistenza delle soluzioni

$C.E.:\ -12<x<-11 \ \ \vee \ \ -11<x<-4 \ \ \vee \ \ x>2$

Finalmente possiamo occuparci dell'equazione

$\frac{\ln(x^2+2x-8)}{\ln(x+12)}=1$

Moltiplichiamo i due membri per $\ln(x+12)$

$\ln(x^2+2x-8)=\ln(x+12)$

Poiché i logaritmi hanno la stessa base, possiamo uguagliare i loro argomenti

Trasportiamo tutti i termini al primo membro e sommiamo i monomi simili: in questo modo ci riconduciamo all'equazione di secondo grado

le cui soluzioni sono date dalla seguente formula

$\\ x_{3,4}=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot 1\cdot (-20)}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{81}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{-1\pm 9}{2}=\begin{cases}-\frac{10}{2}=-5=x_3\\ \\ \frac{8}{2}=4=x_4\end{cases}$

I due valori sono soluzioni accettabili dell'equazione iniziale perché rispettano le condizioni di esistenza, pertanto possiamo concludere che le soluzioni di:

$\frac{\ln(x^2+2x-8)}{\ln(x+12)}=1$

sono

$x=-5 \ \ \ \vee \ \ \ x=4$

Ecco fatto!

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