Equazione fratta e logaritmica

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Equazione fratta e logaritmica #69027

avt
Stirpy
Punto
Ho provato a risolvere un'equazione fratta con i logaritmi, senza riuscire nell'intento. Potreste darmi una mano per favore?

Determinare le eventuali soluzioni della seguente equazione logaritmica fratta.

\frac{\ln(x^2+2x-8)}{\ln(x+12)}=1

Grazie mille.
 
 

Equazione fratta e logaritmica #69088

avt
Omega
Amministratore
Prima di determinare le eventuali soluzioni dell'equazione fratta

\frac{\ln(x^2+2x-8)}{\ln(x+12)}=1

bisogna necessariamente impostare le condizioni di esistenza. Affinché i logaritmi siano ben definiti, bisogna imporre che i loro argomenti siano maggiori di zero. Poiché l'incognita compare a denominatore, richiederemo che esso sia diverso da zero.

Le condizioni devono valere contemporaneamente, ecco perché formano il seguente sistema di disequazioni

\begin{cases}x^2+2x-8>0\\ \\ x+12>0\\ \\ \ln(x+12)\ne 0\end{cases}

Risolviamole singolarmente, partendo dalla disequazione di secondo grado

x^2+2x-8>0

Ricaviamo le soluzioni dell'equazione associata con la formula del discriminante

\\ x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{4-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{36}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{-2\pm 6}{2}=\begin{cases}-\frac{8}{2}=-4=x_1\\ \\ \frac{4}{2}=2=x_2\end{cases}

Poiché il coefficiente di x^2 è maggiore di zero, la disequazione è soddisfatta per valori esterni, vale a dire:

x<-4 \ \ \ , \ \ \ x>2

Occupiamoci della disequazione di primo grado

x+12>0 \ \ \ \to \ \ \ x>-12

e infine dell'ultima relazione, trattandola alla stregua di un'equazione logaritmica

\ln(x+12)\ne 0

Per x+12>0, applichiamo l'esponenziale ai due membri

x+12\ne 1 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -11

A questo punto, intersechiamo le relazioni e scriviamo l'insieme di esistenza delle soluzioni

C.E.:\ -12<x<-11 \ \ \vee \ \ -11<x<-4  \ \ \vee \ \ x>2

Finalmente possiamo occuparci dell'equazione

\frac{\ln(x^2+2x-8)}{\ln(x+12)}=1

Moltiplichiamo i due membri per \ln(x+12)

\ln(x^2+2x-8)=\ln(x+12)

Poiché i logaritmi hanno la stessa base, possiamo uguagliare i loro argomenti

x^2+2x-8=x+12

Trasportiamo tutti i termini al primo membro e sommiamo i monomi simili: in questo modo ci riconduciamo all'equazione di secondo grado

x^2+x-20=0

le cui soluzioni sono date dalla seguente formula

\\ x_{3,4}=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot 1\cdot (-20)}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{81}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{-1\pm 9}{2}=\begin{cases}-\frac{10}{2}=-5=x_3\\ \\ \frac{8}{2}=4=x_4\end{cases}

I due valori sono soluzioni accettabili dell'equazione iniziale perché rispettano le condizioni di esistenza, pertanto possiamo concludere che le soluzioni di:

\frac{\ln(x^2+2x-8)}{\ln(x+12)}=1

sono

x=-5 \ \ \ \vee \ \ \ x=4

Ecco fatto!
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Os