Prima di determinare le eventuali soluzioni dell'
equazione fratta
bisogna necessariamente impostare le
condizioni di esistenza. Affinché i
logaritmi siano ben definiti, bisogna imporre che i loro argomenti siano maggiori di zero. Poiché l'incognita compare a denominatore, richiederemo che esso sia diverso da zero.
Le condizioni devono valere contemporaneamente, ecco perché formano il seguente
sistema di disequazioni
Risolviamole singolarmente, partendo dalla
disequazione di secondo grado
Ricaviamo le soluzioni dell'equazione associata con la
formula del discriminante
Poiché il coefficiente di

è maggiore di zero, la disequazione è soddisfatta per valori esterni, vale a dire:
Occupiamoci della
disequazione di primo grado
e infine dell'ultima relazione, trattandola alla stregua di un'
equazione logaritmica
Per

, applichiamo l'
esponenziale ai due membri
A questo punto, intersechiamo le relazioni e scriviamo l'insieme di esistenza delle soluzioni
Finalmente possiamo occuparci dell'equazione
Moltiplichiamo i due membri per
Poiché i logaritmi hanno la stessa base, possiamo uguagliare i loro argomenti
Trasportiamo tutti i termini al primo membro e sommiamo i monomi simili: in questo modo ci riconduciamo all'
equazione di secondo grado
le cui soluzioni sono date dalla seguente formula
I due valori sono soluzioni accettabili dell'equazione iniziale perché rispettano le condizioni di esistenza, pertanto possiamo concludere che le soluzioni di:
sono
Ecco fatto!