Equazione fratta con coseno non risolvibile algebricamente

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Equazione fratta con coseno non risolvibile algebricamente #68967

avt
danying
Sfera
Ho riscontrato alcune difficoltà nel risolvere un'equazione non elementare di cui devo trovare le soluzioni con il metodo grafico. Il problema nasce nel momento in cui bisogna tracciare i grafici: le funzioni che ho trovato non sono facili da rappresentare! Ho bisogno del vostro aiuto.

Utilizzare il metodo grafico per individuare le eventuali soluzioni, o loro approssimazioni, dell'equazione

\frac{\cos(x^2)}{x^4+1}=1

Grazie.
Ringraziano: Omega, CarFaby, ermagnus95
 
 

Equazione fratta con coseno non risolvibile algebricamente #68993

avt
Omega
Amministratore
Proponiamoci come obiettivo quello di determinare le eventuali soluzioni dell'equazione

\frac{\cos(x^2)}{x^4+1}=1

Osserviamo che essa è un'equazione fratta, non ancora espressa in forma normale, e in quanto tale bisogna imporre le condizioni di esistenza: richiederemo che il denominatore che contiene l'incognita sia diverso da zero.

In questo caso ricaviamo la relazione

C.E.:\ x^4+1\ne 0\ \ \ \to \ \ \ x\in\mathbb{R}

Osserviamo che la disuguaglianza è sempre vera perché x^4+1 è la somma tra una potenza con esponente pari, dunque positiva o nulla, e 1.

Una volta determinato l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo svolgere i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione in forma normale. Trasportiamo 1 al primo membro

\frac{\cos(x^2)}{x^4+1}-1=0

portiamo a denominatore comune

\frac{\cos(x^2)-x^4-1}{x^4+1}=0

Cancelliamo il denominatore così da ricavare l'equazione equivalente

\cos(x^2)-x^4-1=0

che possiamo esprimere nella seguente maniera

\cos(x^2)=x^4+1

Quella ottenuta è un'equazione non risolvibile elementarmente, non è infatti riconducibile a nessuna tipologia di equazioni di cui conosciamo il metodo risolutivo.

Possiamo pensar bene di utilizzare il metodo grafico, così come suggerito dalla traccia, utilizzando le funzioni

f(x)=\cos(x^2)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ g(x)=x^4+1

però sorge un problema: il grafico di y=\cos(x^2) non è semplice da tracciare! Facciamoci furbi e operiamo la sostituzione

t=x^2\ \ \ \to \ \ \  t^2=x^4

grazie alla quale l'equazione si riscrive come

\cos(t)=t^2+1

Essa rappresenta la risolvente del sistema non lineare

\begin{cases}y=\cos(t)\\ \\ y=t^2+1\end{cases}

di conseguenza le soluzioni dell'equazione in t rappresentano le ascisse dei punti di intersezione tra il grafico di y=\cos(t) e quello di y=t^2+1.

Il grafico della funzione coseno

y=\cos(t)

è noto, mentre quello della funzione polinomiale di secondo grado coincide con la parabola convessa di vertice V(0,1) e passante per il punto P(1,2).

Tracciate le due curve sul medesimo piano cartesiano Oty otteniamo il seguente grafico:

Esercizi equazioni non risolvibili algebricamente IX

Da esso deduciamo che le due funzioni si intersecano nell'unico punto A(t_A, y_A)=(0,1), la cui ascissa rappresenta la soluzione dell'equazione in t. Se t=0, l'equazione

\cos(t)=t^2+1

diventa

\cos(0)=0^2+1 \ \ \ \to \ \ \ 1=1

Non ci resta che ripristinare l'incognita x tenendo a mente la sostituzione fatta: poiché t=x^2, la relazione t=0 si traduce nell'equazione di secondo grado

x^2=0 \ \ \ \to \ \ \ x=0

In definitiva, l'equazione

\frac{\cos(x^2)}{x^4+1}=1

ammette come unica soluzione x=0, infatti se rimpiazziamo 0 a x otteniamo l'identità

\frac{\cos(0^2)}{0^4+1}=1 \ \ \ \to \ \ \ 1=1

Osservazione importante: sottolineiamo che, in generale, il metodo grafico non fornisce le soluzioni esatte, tutt'altro! Solitamente consente di ricavare le loro approssimazioni, ma non in questa occasione nella quale si è rivelato invece risolutivo.
Ringraziano: danying, CarFaby, ermagnus95
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Os