Equazione binomia di grado 6 #68812

avt
emanu91
Punto
Dovrei determinare l'insieme delle soluzioni di un'equazione binomia di grado superiore al secondo che ho tentato risolvere senza successo.

Determinare l'insieme delle soluzioni dell'equazione binomia di grado 6

\frac{x^6}{9}+\frac{1}{3}=0

Secondo il libro, l'insieme delle soluzioni dovrebbe essere vuoto, ma non capisco perché. Spero possiate aiutarmi.
Ringraziano: Kiffede
 
 

Equazione binomia di grado 6 #68819

avt
Galois
Amministratore
Prima di risolvere l'equazione binomia

\frac{x^6}{9}+\frac{1}{3}=0

è necessario effettuare una precisazione importante: il grado del polinomio al primo membro è un numero pari, pertanto l'equazione può ammettere soluzioni reali oppure no a seconda del segno dei coefficienti.

Al fine di semplificare i calcoli, determiniamo il minimo comune multiplo dei denominatori

\frac{x^6+3}{9}=0

dopodiché moltiplichiamo i due membri per 9 ricavando così l'equazione equivalente

x^6+3=0

Isoliamo l'incognita al primo membro trasportando 3 al secondo cambiandogli il segno

x^6=-3

Condizione necessaria ma non sufficiente affinché sussista l'uguaglianza consiste nel fatto che il segno al primo membro sia lo stesso di quello del secondo membro, se d'altro canto tale condizione venisse meno, l'equazione non ammetterebbe certamente soluzioni.

Nel caso in esame, il primo membro è certamente positivo o al più nullo, mentre il secondo membro è un numero negativo, di conseguenza l'uguaglianza non può esistere per alcun valore reale x.

In conclusione, possiamo affermare che l'insieme delle soluzioni dell'equazione coincide con l'insieme vuoto, ossia: S=\emptyset.

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, emanu91, Kiffede
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Os