Equazione con arcotangente non risolvibile algebricamente

Sono alle prese con un'equazione con l'arcotangente che non può essere risolta con i metodi standard e infatti il testo dell'esercizio chiede di sfruttare il metodo grafico. C'è solo un piccolo problema: le espressioni che compongono i membri sono tutt'altro che facili da rappresentare. Non posso usare lo studio di funzione.

Utilizzare il metodo grafico per risolvere la seguente equazione trascendente



Come posso fare? Grazie.

Il testo dell'esercizio è esplicito per quanto concerne la strada da seguire: dobbiamo utilizzare il metodo grafico per risolvere l'equazione



Osserviamo infatti che essa non è riconducibile ad alcuna tipologia di equazioni di cui conosciamo il metodo risolutivo, o detto in altri termini, è un'equazione non risolvibile algebricamente.

Ricordiamo che il metodo grafico consiste nell'esprimere l'equazione data nella forma



dove sono due funzioni di cui dovrebbe essere facile tracciare il grafico. Una volta rappresentate le curve, individueremo gli eventuali punti di intersezione le cui ascisse rappresentano le soluzioni dell'equazione data.

In questo caso, saremmo indotti a considerare le funzioni



ma se da un lato il grafico di è immediato, quello di è tutt'altro che banale: potremmo pensare di avviare uno studio di funzione, oppure farsi furbi e scegliere in maniera diversa le funzioni in gioco.

Prima di tutto, operiamo la sostituzione



con cui l'equazione si riscrive nella forma



Osserviamo a questo punto che se è uguale a zero (cosa impossibile per come è definita), l'equazione non verrebbe soddisfatta, infatti



Se è diversa da zero allora possiamo dividere i due membri per l'incognita, ricavando in questo modo l'equazione equivalente:



che dal punto di vista algebrico, può essere interpretata come la risolvente del sistema



Dal punto di vista geometrico, le soluzioni dell'equazione in coincidono con le ascisse dei punti di intersezione tra il grafico dell'arcotangente



e quello della funzione



che possiamo interpretare come una funzione omografica del tipo



con . La funzione omografica individua nel piano cartesiano un'iperbole equilatera di vertici e i cui asintoti hanno equazione



e coincidono pertanto con gli assi coordinati.

Tracciando le due curve sul piano ricaviamo il seguente grafico


da cui si evince che le due funzioni si intersecano in due punti , con ascissa compresa tra -2 e -1, e con ascissa compresa tra 1 e 2. Questi due valori rappresentano effettivamente le soluzioni dell'equazione di partenza, purtroppo però non ne conosciamo il valore esatto: dovremo accontentarci di una loro approssimazione. A titolo di esempio, possiamo considerare



e lavorare con i valori approssimati.

Non abbiamo ancora terminato il nostro compito: dobbiamo ritornare nell'incognita e per farlo dovremo utilizzare la sostituzione fatta. Poiché , la relazione



si tramuta nell'equazione di secondo grado



Poiché necessariamente , di conseguenza l'equazione precedente non ammette soluzioni reali giacché il quadrato non può essere mai uguale a un numero negativo quale è .

D'altro canto, la relazione si riscrive come



In questo caso, pertanto la differenza è positiva, vale a dire:



pertanto fornisce due soluzioni reali e distinte



Se utilizziamo l'approssimazione , ricaviamo i seguenti valori



Chiaramente è opportuno munirsi di una calcolatrice per poter agevolmente determinare le radici.

In definitiva, l'equazione



ammette due soluzioni e sono:



Finalmente l'esercizio è completo.