Equazione fratta con termini irrazionali

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Equazione fratta con termini irrazionali #68761

avt
himmelheart
Punto
Mi è capitata un'equazione irrazionale fratta che non sono in grado di risolvere. Dopo aver imposto le condizioni di esistenza, mi inchiodo sui passaggi algebrici. Cosa dovrei fare?

Calcolare le eventuali soluzioni della seguente equazione irrazionale fratta

\frac{5x}{\sqrt{6x^2-5x}}-4x+\sqrt{6x^2-5x}=0

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Heisenberg Cooper
 
 

Equazione fratta con termini irrazionali #68767

avt
Heisenberg Cooper
Cerchio
Consideriamo l'equazione irrazionale fratta

\frac{5x}{\sqrt{6x^2-5x}}-4x+\sqrt{6x^2-5x}=0

e iniziamo la risoluzione imponendo le condizioni di esistenza. Poiché le radici hanno indice pari, richiederemo che i radicandi siano maggiori o al più uguali a zero. Inoltre imporremo la non nullità dei denominatori che contengono l'incognita, perché non è possibile dividere per zero.

Poiché le condizioni devono valere contemporaneamente, bisogna considerare il sistema composto da tutti i vincoli:

\begin{cases}6x^2-5x\ge 0 \\ \\ \sqrt{6x^2-5x}\ne 0\end{cases}

Osserviamo però che le due relazioni possono essere riassunte nella disequazione di secondo grado:

6x^2-5x>0

perché la radice quadrata è non nulla se e solo se il radicando è maggiore di zero!

Risolviamo la disequazione determinando le soluzioni dell'equazione associata con la formula del discriminante

x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{25}}{12}=\frac{5\pm 5}{12}=\begin{cases}0=x_1 \\ \\ \frac{10}{12}=\frac{5}{6}=x_2\end{cases}

e osserviamo che la disequazione è soddisfatta per valori esterni. Scriviamo quindi:

C.E.:\  x<0 \ \ \ \vee \ \ \ x>\frac{5}{6}

dove \vee è il simbolo matematico che individua il connettivo logico "or".

Noto l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo dedicarci ai passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione fratta in forma normale: esprimeremo le frazioni a denominatore comune, dopodiché eseguiremo le operazioni che scaturiranno a numeratore.

\\ \frac{5x-4x\sqrt{6x^2-5x}+(\sqrt{6x^2-5})^2}{\sqrt{6x^2-5x}}=0 \\ \\ \\ \frac{5x-4x\sqrt{6x^2-5x}+6x^2-5x}{\sqrt{6x^2-5x}}=0 \\ \\ \\ \frac{-4x\sqrt{6x^2-5x}+6x^2}{\sqrt{6x^2-5x}}=0

Sono le condizioni d'esistenza, possiamo cancellare il denominatore e considerare l'equazione irrazionale intera

-4x\sqrt{6x^2-5x}+6x^2=0

Raccogliamo totalmente 2x

2x(-2\sqrt{6x^2-5x}+3x)=0

e sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto, che ci permette di considerare le seguenti equazioni

2x=0 \ \ \ \vee \ \ \ -2\sqrt{6x^2-5x}+3x=0

Dalla prima ricaviamo x=0 che però non è accettabile come soluzione perché non soddisfa le condizioni di esistenza. Occupiamoci dell'equazione

-2\sqrt{6x^2-5x}+3x=0

isolando il radicale al primo membro

-2\sqrt{6x^2-5x}=-3x \ \ \ \to \ \ \ \sqrt{6x^2-5x}=\frac{3x}{2}

Consideriamo quindi il sistema risolvente, ossia quel sistema formato dalla condizione di esistenza per la radice, dalla condizione di concordanza e dall'equazione che si ottiene elevando al quadrato i due membri

\begin{cases}6x^2-5x\ge 0 \ \ \ \to \ \ \  x\le 0 \ \ \ \vee \ \ \ x\ge\dfrac{5}{6}\\ \\ \dfrac{3x}{2}\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge 0\\ \\ 6x^2-5x=\dfrac{9x^2}{4}\ \ \ \to \ \ \ \dfrac{3x^2-10x}{2}=0\end{cases}

Dall'ultima equazione ricaviamo i valori

x=0 \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{10}{3}

Attenzione! Solo x=\frac{10}{3} rispetta le condizioni di esistenza iniziali ed infatti è l'unica soluzione dell'equazione iniziale, invece x=0 è un falso positivo.

In conclusione, l'equazione irrazionale

\frac{5x}{\sqrt{6x^2-5x}}-4x+\sqrt{6x^2-5x}=0

ammette come unica soluzione

x=\frac{10}{3}.

Abbiamo finito.
Ringraziano: himmelheart
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Os