Equazione in 2 incognite con termine di grado 2

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Equazione in 2 incognite con termine di grado 2 #68359

avt
Iusbe
Templare
Avrei bisogno di una mano per risolvere un'equazione in due incognite. Più precisamente dovrei rappresentare il luogo geometrico dei punti del piano che soddisfano l'equazione, però non so come fare.

Rappresentare il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano che soddisfano la seguente equazione e nel caso in cui il luogo geometrico sia notevole, esplicitarne le caratteristiche.

x^2-y+2x+1=0

Grazie.
Ringraziano: Omega, Ifrit, Heisenberg Cooper
 
 

Equazione in 2 incognite con termine di grado 2 #68362

avt
Ifrit
Ambasciatore
Per risolvere l'esercizio è sufficiente studiare il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano individuato dall'equazione in due variabili

x^2-y+2x+1=0

Il miglior modo per approcciarsi al problema consiste nell'isolare y al primo membro

\\ -y=-x^2-2x-1 \\ \\ y=x^2+2x+1 \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

in questo modo comprendiamo che l'equazione è soddisfatta dai punti del piano la cui ascissa è libera di assumere qualsiasi valore reale, mentre l'ordinata è vincolata dalla relazione

y=x^2+2x+1

I punti sono dunque nella forma

(x, \ x^2+2x+1) \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

Dal punto di vista puramente geometrico

y=x^2+2x+1

è l'equazione di una parabola di cui siamo in grado di esplicitare le caratteristiche. Indicati con a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto

a=1 \ \ \ , \ \ \ b=2 \ \ \ , \  \ \ c=1

e definito il discriminante \Delta come

\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot 1 \cdot 1=0

il vertice della parabola si ricava con la formula

V\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)=\left(-\frac{2}{2}, \frac{0}{4}\right)=(-1,0)

Per calcolare il fuoco della parabola usiamo invece la relazione

F\left(-\frac{b}{2a},\frac{1-\Delta}{4a}\right)=\left(-1, \frac{1}{4}\right)

Gli ultimi due elementi distintivi della parabola sono l'asse di simmetria e la retta direttrice, che determiniamo con le seguenti formule

\\ \mbox{Asse}: \ x=x_V\ \ \ \to \ \ \ x=-\frac{b}{2a}\ \ \ \to \ \ \ x=-1 \\ \\ \\ \mbox{Direttrice}: \ y=-\frac{1+\Delta}{4a}\ \ \ \to \ \ \ y=-\frac{1}{4}

Ora che abbiamo fornito una sorta di carta di identità al luogo geometrico, siamo anche capaci di rappresentarlo nel piano cartesiano.

Esercizi equazioni in due incognite II

Abbiamo finito.
Ringraziano: Iusbe, Heisenberg Cooper
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Os