Equazione fratta con termini misti #68220

avt
Mattrix00
Punto
Non sono in grado di risolvere un'equazione fratta con esponenziali e valori assoluti. Mi hanno suggerito di usare il raccoglimento parziale e di usare la legge di annullamento del prodotto, però non so come.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione fratta

\frac{e^{2x+1}|x|-e^{4}|x|-e^{2x+1}+e^{4}}{x^2-4x+3}=0

Grazie.
 
 

Equazione fratta con termini misti #70936

avt
Deryouve
Punto
Per ricavare le soluzioni dell'equazione fratta

\frac{e^{2x+1}|x|-e^{4}|x|-e^{2x+1}+e^{4}}{x^2-4x+3}=0

bisogna prima di tutto richiedere che il denominatore sia diverso da zero, ossia:

C.E.: \ x^2-4x+3\ne 0

Esplicitiamo la condizione di esistenza utilizzando la formula del delta quarti

\\ x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac}}{a}=2\pm\sqrt{4-3}=\\ \\ \\ =2\pm 1=\begin{cases}1=x_1\\ \\ 3=x_2\end{cases}

L'equazione è ben posta nel momento in cui l'incognita soddisfa i vincoli

C.E.:\ x\ne 1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ x\ne 3

Torniamo all'equazione

\frac{e^{2x+1}|x|-e^{4}|x|-e^{2x+1}+e^{4}}{x^2-4x+3}=0

Moltiplichiamo a destra e a sinistra per x^2-4x+3 così da cancellare il denominatore

e^{2x+1}|x|-e^{4}|x|-e^{2x+1}+e^{4}=0

A questo punto, possiamo procedere con la tecnica del raccoglimento parziale: mettiamo in evidenza il valore assoluto tra i primi due termini e il segno negativo dagli ultimi due

|x|(e^{2x+1}-e^{4})-(e^{2x+1}-e^{4})=0

dopodiché raccogliamo totalmente e^{2x+1}-e^{4}

(e^{2x+1}-e^{4})(|x|-1)=0

Per poter risolvere l'equazione, possiamo avvalerci della legge di annullamento del prodotto mediante la quale ricaviamo le seguenti equazioni:

e^{2x+1}-e^{4}=0 \ \ \ \vee \ \ \ |x|-1=0

Analizziamole singolarmente, partendo dall'equazione esponenziale

e^{2x+1}-e^{4}=0

Portiamo e^{4} a destra così da ottenere un'uguaglianza tra due esponenziali con la stessa base

e^{2x+1}=e^{4}

Uguagliamo gli esponenti e determiniamo il valore dell'incognita

2x+1=4 \ \ \ \to \ \ \ 2x=3 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{3}{2}

Poiché \frac{3}{2} rispetta le condizioni di esistenza, rappresenta una soluzione dell'equazione data.

Occupiamoci dell'equazione con il valore assoluto

|x|-1=0

che si risolve facilmente a patto di portare 1 al secondo membro

|x|=1\ \ \ \to \ \ \ x=\pm 1

Essa è soddisfatta quindi dai valori x=-1, \ x=1 che si candidano come soluzioni dell'equazione iniziale. Si noti che x=1 viola le condizioni di esistenza, dunque non è soluzione dell'equazione di partenza. D'altra parte x=-1 appartiene all'insieme di esistenza delle soluzioni, pertanto possiamo concludere che i valori che soddisfano l'equazione

\frac{e^{2x+1}|x|-e^{4}|x|-e^{2x+1}+e^{4}}{x^2-4x+3}=0

sono

x=-1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ x=\frac{3}{2}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Galois
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Os