Equazione fratta con termini misti #68220

avt
Mattrix00
Punto
Non sono in grado di risolvere un'equazione fratta con esponenziali e valori assoluti. Mi hanno suggerito di usare il raccoglimento parziale e di usare la legge di annullamento del prodotto, però non so come.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione fratta

(e^(2x+1)|x|-e^(4)|x|-e^(2x+1)+e^(4))/(x^2-4x+3) = 0

Grazie.
 
 

Equazione fratta con termini misti #70936

avt
Deryouve
Punto
Per ricavare le soluzioni dell'equazione fratta

(e^(2x+1)|x|-e^(4)|x|-e^(2x+1)+e^(4))/(x^2-4x+3) = 0

bisogna prima di tutto richiedere che il denominatore sia diverso da zero, ossia:

C.E.: x^2-4x+3 ne 0

Esplicitiamo la condizione di esistenza utilizzando la formula del delta quarti

x_(1,2) = (-(b)/(2)±√(((b)/(2))^2-ac))/(a) = 2±√(4-3) = 2±1 = 1 = x_1 ; 3 = x_2

L'equazione è ben posta nel momento in cui l'incognita soddisfa i vincoli

C.E.: x ne 1 e x ne 3

Torniamo all'equazione

(e^(2x+1)|x|-e^(4)|x|-e^(2x+1)+e^(4))/(x^2-4x+3) = 0

Moltiplichiamo a destra e a sinistra per x^2-4x+3 così da cancellare il denominatore

e^(2x+1)|x|-e^(4)|x|-e^(2x+1)+e^(4) = 0

A questo punto, possiamo procedere con la tecnica del raccoglimento parziale: mettiamo in evidenza il valore assoluto tra i primi due termini e il segno negativo dagli ultimi due

|x|(e^(2x+1)-e^(4))-(e^(2x+1)-e^(4)) = 0

dopodiché raccogliamo totalmente e^(2x+1)-e^(4)

(e^(2x+1)-e^(4))(|x|-1) = 0

Per poter risolvere l'equazione, possiamo avvalerci della legge di annullamento del prodotto mediante la quale ricaviamo le seguenti equazioni:

e^(2x+1)-e^(4) = 0 ∨ |x|-1 = 0

Analizziamole singolarmente, partendo dall'equazione esponenziale

e^(2x+1)-e^(4) = 0

Portiamo e^(4) a destra così da ottenere un'uguaglianza tra due esponenziali con la stessa base

e^(2x+1) = e^(4)

Uguagliamo gli esponenti e determiniamo il valore dell'incognita

2x+1 = 4 → 2x = 3 → x = (3)/(2)

Poiché (3)/(2) rispetta le condizioni di esistenza, rappresenta una soluzione dell'equazione data.

Occupiamoci dell'equazione con il valore assoluto

|x|-1 = 0

che si risolve facilmente a patto di portare 1 al secondo membro

|x| = 1 → x = ±1

Essa è soddisfatta quindi dai valori x = -1, x = 1 che si candidano come soluzioni dell'equazione iniziale. Si noti che x = 1 viola le condizioni di esistenza, dunque non è soluzione dell'equazione di partenza. D'altra parte x = -1 appartiene all'insieme di esistenza delle soluzioni, pertanto possiamo concludere che i valori che soddisfano l'equazione

(e^(2x+1)|x|-e^(4)|x|-e^(2x+1)+e^(4))/(x^2-4x+3) = 0

sono

x = -1 e x = (3)/(2)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Galois
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Os