Risolvere un'equazione in 2 incognite

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Risolvere un'equazione in 2 incognite #68066

avt
Iusbe
Templare
Dovrei studiare il luogo geometrico dei punto del piano individuato da un'equazione in due incognite e rappresentarlo nel piano cartesiano. Purtroppo non ho esperienza in questa tipologia di esercizi, per questo chiedo il vostro intervento: non ho proprio idee.

Analizzare la seguente equazione in due incognite, studiando il luogo geometrico dei punti del piano che la soddisfano e rappresentandolo qualitativamente.

x^2y-x^2+xy-x=0

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Manuel1990, CarFaby
 
 

Risolvere un'equazione in 2 incognite #68071

avt
Pi Greco
Kraken
Consideriamo l'equazione in due incognite

x^2y-x^2+xy-x=0

L'esercizio ci chiede di determinare il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano che la soddisfano. Purtroppo all'equazione non è associabile alcun luogo notevole (circonferenze, ellissi, parabole o iperboli), ecco perché dobbiamo ingegnarci un po'. Procediamo per raccoglimento parziale, raccogliendo x^2 tra i primi due addendi e x tra gli ultimi due

x^2(y-1)+x(y-1)=0

dopodiché raccogliamo il fattore comune y-1

(x^2+x)(y-1)=0

All'interno delle parentesi tonde possiamo mettere in evidenza x e ottenere l'equazione

x(x+1)(y-1)=0

che possiamo analizzare mediante la legge di annullamento del prodotto, in virtù della quale ricaviamo tre equazioni

\\ x=0\\ \\ x+1=0 \\ \\ y-1=0

L'equazione

x=0

è soddisfatta da tutti i punti del piano che hanno ascissa nulla, ossia dai punti che giacciono sull'asse delle ordinate

(0,y) \ \ \ \mbox{con} \ y\in\mathbb{R}

L'equazione

x+1=0 \ \ \ \to \ \ \ x=-1

è soddisfatta invece da tutti i punti del piano che hanno ascissa pari a -1 e ordinata libera di assumere qualsiasi valore reale

(-1, y) \ \ \ \mbox{con}\ y\in\mathbb{R}

Geometricamente x=-1 è l'equazione della retta parallela all'asse delle ordinate e passante per il punto P(-1, 0).

Per quanto riguarda l'ultima relazione, ossia

y-1=0 \ \ \ \to \ \ \ y=1

essa è soddisfatta da tutti i punti del piano aventi ordinata pari a 1, mentre l'ascissa è libera di assumere qualsiasi numero reale, vale a dire dai punti della forma:

(x,1)\ \ \ \mbox{con} \ x\in\mathbb{R}

Non a caso y=1 è l'equazione della retta parallela all'asse delle ascisse e passante per il punto (0,1).

Ricapitolando: il luogo geometrico individuato dall'equazione

x^2y-x^2+xy-x=0

si ricava unendo tre rette di equazione:

x=0\ \ \ , \ \ \ x=-1 \ \ \ , \ \ \ y=1

La rappresentazione grafica è

Esercizi equazioni in due incognite III

Ecco fatto.
  • Pagina:
  • 1
Os