Scomposizione di un binomio con identità di Sophie Germain

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Scomposizione di un binomio con identità di Sophie Germain #6803

avt
904
Sfera
Potreste aiutarmi a scomporre un binomio a coefficienti fratti con l'identità di Sophie Germain, per favore? Sinceramente pensavo che il polinomio fosse irriducibile perché esprimibile come somma di quadrati, però il libro mi dà torto.

Usare l'identità di Sophie Germain per scomporre il seguente binomio:

x^4+\frac{4}{81}

Grazie.
 
 

Scomposizione di un binomio con identità di Sophie Germain #6846

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nell'esprimere il polinomio

x^4+\frac{4}{81}

nel prodotto di fattori irriducibili, avvalendoci dell'identità di Sophie Germain.

Per prima cosa usiamo le proprietà delle potenze per riscrivere il polinomio nella somma di due quadrati: si noti infatti che x^4 è il quadrato di x^2, mentre \frac{4}{81} è il quadrato di \frac{2}{9}.

x^4+\frac{4}{81}=(x^2)^2+\left(\frac{2}{9}\right)^2=

A questo punto, occorre aggiungere e sottrarre il doppio prodotto tra le basi dei quadrati ottenuti, vale a dire 2\cdot x^2\cdot\frac{2}{9}=\frac{4}{9}x^2, così da completare il quadrato di x^2+\frac{2}{9}.

=(x^2)^2+\left(\frac{2}{9}\right)^2+\frac{4}{9}x^2-\frac{4}{9}x^2=

Proprio perché i primi tre termini costituiscono lo sviluppo del quadrato del binomio x^2+\frac{2}{9} per cui possiamo rimpiazzarli con \left(x^2+\frac{2}{9}\right)^2 e ottenere:

=\left(x^2+\frac{2}{9}\right)^2-\frac{4}{9}x^2=

Notato che \frac{4}{9}x^2 è il quadrato di \frac{2}{3}x, l'espressione ottenuta è essenzialmente la differenza di due quadrati, fattorizzabile nel prodotto della somma tra x^2+\frac{2}{9}\ \mbox{e} \ \frac{2}{3}x per la loro differenza

=\left(x^2+\frac{2}{9}+\frac{2}{3}x\right)\left(x^2+\frac{2}{9}-\frac{2}{3}x\right)

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, frank094, Ifrit, 904
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