Equazione in due incognite con termine xy

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Equazione in due incognite con termine xy #67806

avt
Iusbe
Templare
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione in due incognite. Per essere più espliciti, dovrei rappresentare l'insieme delle soluzioni dell'equazione nel piano cartesiano, però ho un grosso problema: non riesco a ricondurmi a nulla di notevole.

Rappresentare nel piano cartesiano l'insieme soluzioni della seguente equazione in due incognite

xy+y-x+1=0

Come si fa? Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby
 
 

Equazione in due incognite con termine xy #67809

avt
Galois
Amministratore
L'esercizio ci chiede di rappresentare l'insieme delle soluzioni associate all'equazione in due incognite

xy+y-x+1=0

in altri termini, dovremo rappresentare il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano associato all'equazione.

A un occhio esperto è subito evidente che l'equazione di una conica, infatti si presenta nella forma

Ax^2+2 B x y+ C y^2+2 D x+2 E y+ F=0

dove

A=0 \ \ \ ,\ \ \ B=\frac{1}{2} \ \ \ , \ \ \ C=0\\ \\ \\ D=-\frac{1}{2} \ \ \ , \ \ \ E=\frac{1}{2}\ \ \ , \ \ \ F=1

In accordo con la teoria delle coniche, inoltre, l'equazione individua un'iperbole nel piano cartesiano, infatti è positiva la quantità

\Delta=B^2-4AC= \left(\frac{1}{2}\right)^2-4\cdot 0\cdot 0=\frac{1}{4}>0

Certo, ora sappiamo che tipo di conica è, però non siamo ancora capaci di rappresentarla, inoltre la strada seguita richiede alcune conoscenze che non rientrano nell'algebra di base.

Tentiamo quindi una strada alternativa che consenta di risolvere elegantemente l'esercizio: potremmo ad esempio pensare di isolare un'incognita al primo membro (ad esempio y) ed esprimerla in funzione di x (se possibile!). Partiamo quindi dall'equazione

xy+y-x+1=0

e raccogliamo parzialmente y tra i primi due addendi

y(x+1)-x+1=0 \ \ \ \to \ \ \ y(x+1)=x-1

Se x+1=0, ossia se x=-1, l'equazione diventa

0=-2

che è evidentemente un'uguaglianza priva di significato, ciò significa che i punti di ascissa x=-1 non soddisfano l'equazione e dunque non fanno parte del luogo geometrico associato all'equazione.

Se x+1\ne 0, vale a dire se x\ne -1, possiamo dividere i membri di

y(x+1)=x-1

per x+1 ottenendo

y=\frac{x-1}{x+1}

Essa è una funzione omografica infatti si presenta nella forma

y=\frac{ax+b}{cx+d}

dove

a=1\ \ , \ \ b=-1 \ \ , \ \ c=1\ \ , \ \ d=1

Grazie a questi valori possiamo determinare le equazioni dei due asintoti:

- quello orizzontale di equazione

y=\frac{a}{c} \ \ \ \to \ \ \ y=1

- quello verticale di equazione

x=-\frac{d}{c}\ \ \ \to \ \ \ y=-1

Per tracciare in maniera più precisa l'iperbole, è opportuno determinare le coordinate di alcuni punti per i quali passa: a titolo di esempio possiamo considerare i punti di ascissa x=0, \ x=1, \ x=2. Per ricavare le ordinate di ognuno, basta rimpiazzare ordinatamente i tre valori al posto della x e svolgere i semplici calcoli:

- all'ascissa x=0 associamo l'ordinata

y=\frac{0-1}{0+1}=-1

- all'ascissa x=1 associamo l'ordinata

y=\frac{1-1}{1+1}=0

- all'ascissa x=2 associamo l'ordinata

y=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}

In definitiva, l'iperbole passa per i punti

P(0,-1)\ \ \ , \ \ \ Q(1, 0) \ \ \ , \ \ \ R\left(2, \frac{1}{3}\right)

la sua rappresentazione nel piano cartesiano è

Esercizi equazioni in due incognite V

e rappresenta il luogo geometrico dei punti del piano che realizzano l'equazione

xy+y-x+1=0

Ecco fatto!
Ringraziano: Iusbe
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Os