Esercizio equazione in due incognite con due termini di grado 2

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Esercizio equazione in due incognite con due termini di grado 2 #67763

avt
Iusbe
Templare
Avrei bisogno di una mano per risolvere un esercizio sulle equazioni in due incognite. L'equazione ha un aspetto mansueto, però non capisco proprio come si possa risolvere.

Rappresentare il luogo geometrico dei punti del piano (x,y) che soddisfano la seguente equazione in due incognite

(x-1)^2-(y+1)^2=0

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Galois, CarFaby, tommy21, Heisenberg Cooper
 
 

Esercizio equazione in due incognite con due termini di grado 2 #67768

avt
Ifrit
Ambasciatore
Per analizzare a dovere l'equazione in due incognite

(x-1)^2-(y+1)^2=0

iniziamo con una considerazione. Se osserviamo bene, al primo membro è presente una differenza di quadrati che possiamo scomporre come segue

((x-1)-(y+1))((x-1)+(y+1))=0

vale a dire

(x-y-2)(x+y)=0

A questo punto interviene la legge di annullamento del prodotto, mediante la quale ci riconduciamo a due equazioni

x-y-2=0 \ \ \ \mbox{e}  \ \ \ x+y=0

Analizziamo la prima

x-y-2=0

la quale è chiaramente l'equazione di una retta espressa in forma implicita.

Passiamo dalla forma implicita alla forma esplicita così da ricavare facilmente alcune informazioni

x-y-2=0 \ \ \ \to \ \ \ y=x-2

in particolare scopriamo che il coefficiente angolare della retta è m=1 mentre l'ordinata all'origine è q=-2.

Dalla prima equazione abbiamo estrapolato tutte le informazioni di cui avevamo bisogno, possiamo occuparci della seconda:

x+y=0 \ \ \ \to \ \ \ y=-x

È anch'essa l'equazione di una retta, in particolare è l'equazione della bisettrice del secondo e quarto quadrante.

Ora disponiamo di tutti gli elementi per concludere l'esercizio: il luogo geometrico associato all'equazione

(x-1)^2-(y+1)^2=0

coincide con l'unione dei luoghi geometrici associati alle equazioni

x-y-2=0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ x+y=0

vale a dire

Esercizi equazioni in due incognite IV

Abbiamo finito.
Ringraziano: CarFaby, Iusbe, Heisenberg Cooper
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Os