Equazione fratta di secondo grado a coefficienti irrazionali, ridotta in forma canonica

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Equazione fratta di secondo grado a coefficienti irrazionali, ridotta in forma canonica #67724

avt
ermagnus95
Frattale
Dovrei risolvere un'equazione fratta di secondo grado a coefficienti irrazionali. Sicuramente sbaglio qualcosa nei calcoli oppure applico male proprietà dei radicali, perché il risultato non vuole proprio venire fuori.

Risolvere la seguente equazione fratta di secondo grado a coefficienti irrazionali, esplicitando sia l'insieme di esistenza che l'insieme delle soluzioni.

\frac{x^2-4\sqrt{2}x+6}{2x^2-\sqrt{2}x-2}=0
 
 

Equazione fratta di secondo grado a coefficienti irrazionali, ridotta in forma canonica #67725

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'equazione fratta di secondo grado

\frac{x^2-4\sqrt{2}x+6}{2x^2-\sqrt{2}x-2}=0

dobbiamo innanzitutto imporre le condizioni di esistenza, pretendendo la non nullità del denominatore,

Ciò conduce alla disuguaglianza

2x^2-\sqrt{2}x-2\ne 0

che dal punto di vista logico equivale a escludere le soluzioni dell'equazione di secondo grado

2x^2-\sqrt{2}x-2=0

Chiamiamo a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto

a=2 \ \ \ ; \ \ \ b=-\sqrt{2} \ \ \ ; \ \ \ c=-2

e usiamo la formula del delta per calcolare il discriminante associato.

\Delta=b^2-4ac=(-\sqrt{2})^2-4\cdot 2\cdot (-2)=2+16=18

Prima di determinare le soluzioni, esplicitiamo la radice quadrata del delta a parte, così possiamo applicare le proprietà dei radicali ed effettuare le dovute semplificazioni

\sqrt{\Delta}=\sqrt{18}=

Scomponiamo in fattori primi 18, dopodiché portiamo fuori dalla radice tutti i fattori possibili

=\sqrt{3^2\cdot 2}=3\sqrt{2}

Ora che disponiamo della radice quadrata del delta, possiamo calcolare le soluzioni mediante la relazione

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-\sqrt{2})\pm3\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}\pm 3\sqrt{2}}{4}=\begin{cases}\frac{\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{4} \\ \\ \frac{\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{4}\end{cases}

Sommiamo i radicali simili tra loro, ricavando così i valori da escludere

x_{1}=\frac{-2\sqrt{2}}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\ \ \ ; \ \ \ x_{2}=\frac{4\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}

L'insieme di esistenza dell'equazione fratta è dettato quindi dalle seguenti condizioni

C.E.: \ x\ne -\frac{\sqrt{2}}{2} \ \wedge \ x\ne\sqrt{2}

Ora che disponiamo dei vincoli cui devono sottostare le soluzioni, possiamo cancellare il denominatore dell'equazione

\frac{x^2-4\sqrt{2}x+6}{2x^2-\sqrt{2}x-2}=0

ottenendo

x^2-4\sqrt{2}x+6=0

i cui coefficienti sono:

a=1 \ \ \ ; \ \ \ b=-4\sqrt{2} \ \ \ ; \ \ \ c=6

Osserviamo che il coefficiente di x è facilmente divisibile per 2, di conseguenza possiamo avvalerci della formula del delta quarti

\\ \frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=\left(\frac{-4\sqrt{2}}{2}\right)^2-1\cdot 6= \\ \\ \\  =\left(-2\sqrt{2}\right)^2-1\cdot 6=

Per semplificare il più possibile, sfruttiamo le proprietà delle potenze e svolgiamo in seguito i calcoli che ne scaturiscono

=2^2(\sqrt{2})^2-6=4\cdot 2-6=2

Benissimo! Calcolato il delta quarti, possiamo determinare le soluzioni dell'equazione di secondo grado mediante la formula ridotta

\tilde{x}_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=\frac{-\left(\frac{-4\sqrt{2}}{2}\right)\pm\sqrt{2}}{1}=\begin{cases}2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\\ \\ 2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}\end{cases}

Dei due valori, solo uno è soluzione dell'equazione fratta e più precisamente solo

x=3\sqrt{2}

è accettabile giacché x=\sqrt{2} viola le condizioni di esistenza (x\ne\sqrt{2}).

In conclusione, l'insieme soluzione dell'equazione fratta è

S=\left\{3\sqrt{2}\right\}

Abbiamo finito!
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Os