Equazione fratta di secondo grado ridotta in forma normale

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Equazione fratta di secondo grado ridotta in forma normale #67551

avt
naliB
Punto
Dovrei risolvere un'equazione fratta di secondo grado, imponendo le opportune condizioni di esistenza. Per me è un argomento nuovo e non so dove mettere le mani. Spero possiate aiutarmi

Determinare gli eventuali valori di x che soddisfano la seguente equazione fratta di secondo grado

\frac{3x^2-4x+1}{x^2-6x+8}=0

Grazie.
 
 

Equazione fratta di secondo grado ridotta in forma normale #67552

avt
Iusbe
Templare
L'esercizio ci chiede di determinare le soluzioni dell'equazione fratta di secondo grado

\frac{3x^2-4x+1}{x^2-6x+8}=0

Osserviamo che l'equazione è già espressa in forma normale, infatti il primo membro è già espresso sotto forma di un'unica frazione algebrica, mentre il secondo membro è identicamente nullo.

Per studiare l'equazione, dobbiamo innanzitutto imporre le opportune condizioni di esistenza: richiederemo che il denominatore sia non nullo, questo perché non è possibile dividere per zero.

Impostiamo dunque la disuguaglianza

x^2-6x+8\ne 0

che equivale a richiedere di escludere tutti quei valori che annullano il trinomio x^2-6x+8. In altri termini dobbiamo escludere le soluzioni dell'equazione di secondo grado

x^2-6x+8=0

i cui coefficienti valgono rispettivamente

a=1 \ \ \ ; \ \ \ b=-6 \ \ \ ; \ \ \ c=8

Proprio perché il coefficiente di x è pari, utilizziamo la formula del delta quarti che ci aiuterà a semplificare i calcoli

\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=\left(-\frac{6}{2}\right)^2-1\cdot 8=9-8=1

Poiché il delta quarti è positivo, l'equazione di secondo grado ammetterà due soluzioni reali e distinte, ricavabili mediante la relazione

x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=\frac{-\frac{-6}{2}\pm\sqrt{1}}{1}=\begin{cases}3-1=2\\ \\ 3+1=4\end{cases}

In definitiva, i valori da escludere affinché il denominatore sia non nullo - e dunque affinché l'equazione fratta sia ben posta - sono:

C.E.: \ x\ne 2 \ \wedge \ x\ne 4

dove con \wedge indichiamo il connettivo logico "e".

Ora che disponiamo delle condizioni di esistenza, possiamo avvalerci dei principi di equivalenza delle equazioni, i quali consentono di cancellare il denominatore e di passare all'equazione equivalente

3x^2-4x+1=0

Essa è chiaramente un'equazione di secondo grado con coefficienti

a=3 \ \ \ ; \ \ \ b=-4 \ \ \ ; \ \ \ c=1

Anche in questo caso il coefficiente b è divisibile per 2, dunque possiamo utilizzare la formula ridotta per ricavare le soluzioni.

\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=\left(-\frac{4}{2}\right)^2-3\cdot 1=4-3=1

pertanto

\tilde{x}_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=\frac{-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{1}}{3}=\begin{cases}\frac{2-1}{3}=\frac{1}{3}\\ \\ \frac{2+1}{3}=1\end{cases}

I valori ottenuti rispettano le condizioni di esistenza, ecco perché sono entrambe soluzioni accettabili dell'equazione fratta. L'insieme soluzione dell'equazione fratta è dunque

S=\left\{\frac{1}{3},\ 1\right\}

Abbiamo terminato!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit
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Os