Equazione trigonometrica riconducibile a equazione di secondo grado

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazione trigonometrica riconducibile a equazione di secondo grado #67519

avt
FAQ
Punto
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione goniometrica, in cui compaiono un coseno elevato al quadrato e un seno. Ho provato a risolverlo usando la relazione fondamentale della goniometria e avvalendomi di una sostituzione, però i risultati non coincidono con quelli del libro.

Esplicitare le soluzioni della seguente equazione goniometrica

2\cos^2(x)-\sin(x)-1=0

Grazie.
 
 

Equazione trigonometrica riconducibile a equazione di secondo grado #67579

avt
Ifrit
Ambasciatore
Consideriamo l'equazione goniometrica in seno e coseno

2\cos^2(x)-\sin(x)-1=0

Per poterla risolvere, usiamo la relazione fondamentale della goniometria

\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1 \ \ \ \mbox{con} \ \alpha\in\mathbb{R}

che garantisce l'uguaglianza

\cos^2(\alpha)=1-\sin^2(\alpha) \ \ \ \mbox{con} \ \alpha\in\mathbb{R}

mediante la quale, l'equazione diventa

2(1-\sin^2(x))-\sin(x)-1=0 \ \ \ \to \ \ \ 2-2\sin^2(x)-\sin(x)-1=0

Svolgendo i semplici calcoli, ricaviamo la relazione

2\sin^2(x)+\sin(x)-1=0

nella quale compaiono esclusivamente seni. Procediamo operando la sostituzione t=\sin(x), attraverso la quale ricaviamo:

2t^2+t-1=0

Essa è un'equazione di secondo grado nell'incognita t e con coefficienti

a=2 \ \ \ ,\  \ \ b=1 \ \ \ , \ \ \ c=-1

Per determinare i valori di t che realizzano l'uguaglianza, calcoliamo il discriminante con la formula

\Delta=b^2-4ac= 1^2-4\cdot 2\cdot (-1)=9

Poiché il delta è maggiore di zero, l'equazione è soddisfatta da due valori reali e distinti, ottenibili con la relazione

\\ t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{-1\pm 3}{4}= \\ \\ \\ =\begin{cases}\frac{-1-3}{4}=-1=t_1\\ \\ \frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2}=t_2\end{cases}

Le soluzioni in t sono quindi:

t=-1 \ \ \ \vee \ \ \ t=\frac{1}{2}

A questo punto, non ci resta che ripristinare l'incognita x: poiché t=\sin(x), le relazioni

t=-1 \ \ \ , \ \ \ t=\frac{1}{2}

si tramutano nelle equazioni goniometriche elementari

\sin(x)=-1 \ \ \ , \ \ \ \sin(x)=\frac{1}{2}

La prima si risolve tenendo a mente che il seno di un angolo è uguale a -1 se l'angolo è della forma \frac{3\pi}{2}+2k\pi, pertanto:

x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

è una famiglia di soluzioni dell'equazione data.

Occupiamoci dell'equazione:

\sin(x)=\frac{1}{2}

Aiutandoci con la circonferenza goniometrica e con la tabella dei valori notevoli delle funzioni goniometriche, scopriamo che gli angoli che la soddisfano sono:

x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

Tiriamo le conclusioni! Le famiglie di soluzioni associate all'equazione goniometrica

2\cos^2(x)-\sin(x)-1=0

sono

x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi

dove k è un parametro libero di variare nell'insieme dei numeri interi.
  • Pagina:
  • 1
Os