Consideriamo l'
equazione goniometrica in
seno e coseno
Per poterla risolvere, usiamo la
relazione fondamentale della goniometria
che garantisce l'uguaglianza
mediante la quale, l'equazione diventa
Svolgendo i semplici calcoli, ricaviamo la relazione
nella quale compaiono esclusivamente seni. Procediamo operando la sostituzione

, attraverso la quale ricaviamo:
Essa è un'
equazione di secondo grado nell'incognita

e con coefficienti
Per determinare i valori di

che realizzano l'uguaglianza, calcoliamo il
discriminante con la formula
Poiché il delta è maggiore di zero, l'equazione è soddisfatta da due valori reali e distinti, ottenibili con la relazione
Le soluzioni in

sono quindi:
A questo punto, non ci resta che ripristinare l'incognita

: poiché

, le relazioni
si tramutano nelle equazioni goniometriche elementari
La prima si risolve tenendo a mente che il seno di un angolo è uguale a

se l'angolo è della forma

, pertanto:
è una famiglia di soluzioni dell'equazione data.
Occupiamoci dell'equazione:
Aiutandoci con la
circonferenza goniometrica e con la tabella dei valori notevoli delle funzioni goniometriche, scopriamo che gli angoli che la soddisfano sono:
al variare di

nell'insieme dei numeri interi.
Tiriamo le conclusioni! Le famiglie di soluzioni associate all'equazione goniometrica
sono
dove

è un parametro libero di variare nell'insieme dei numeri interi.