Equazione trigonometrica riconducibile a equazione di secondo grado

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Equazione trigonometrica riconducibile a equazione di secondo grado #67519

avt
FAQ
Frattale
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione goniometrica, in cui compaiono un coseno elevato al quadrato e un seno. Ho provato a risolverlo usando la relazione fondamentale della goniometria e avvalendomi di una sostituzione, però i risultati non coincidono con quelli del libro.

Esplicitare le soluzioni della seguente equazione goniometrica

2cos^2(x)-sin(x)-1 = 0

Grazie.
 
 

Equazione trigonometrica riconducibile a equazione di secondo grado #67579

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo l'equazione goniometrica in seno e coseno

2cos^2(x)-sin(x)-1 = 0

Per poterla risolvere, usiamo la relazione fondamentale della goniometria

sin^2(α)+cos^2(α) = 1 con α∈R

che garantisce l'uguaglianza

cos^2(α) = 1-sin^2(α) con α∈R

mediante la quale, l'equazione diventa

2(1-sin^2(x))-sin(x)-1 = 0 → 2-2sin^2(x)-sin(x)-1 = 0

Svolgendo i semplici calcoli, ricaviamo la relazione

2sin^2(x)+sin(x)-1 = 0

nella quale compaiono esclusivamente seni. Procediamo operando la sostituzione t = sin(x), attraverso la quale ricaviamo:

2t^2+t-1 = 0

Essa è un'equazione di secondo grado nell'incognita t e con coefficienti

a = 2 , b = 1 , c = -1

Per determinare i valori di t che realizzano l'uguaglianza, calcoliamo il discriminante con la formula

Δ = b^2-4ac = 1^2-4·2·(-1) = 9

Poiché il delta è maggiore di zero, l'equazione è soddisfatta da due valori reali e distinti, ottenibili con la relazione

t_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-1±√(9))/(2·2) = (-1±3)/(4) = (-1-3)/(4) = -1 = t_1 ; (-1+3)/(4) = (1)/(2) = t_2

Le soluzioni in t sono quindi:

t = -1 ∨ t = (1)/(2)

A questo punto, non ci resta che ripristinare l'incognita x: poiché t = sin(x), le relazioni

t = -1 , t = (1)/(2)

si tramutano nelle equazioni goniometriche elementari

sin(x) = -1 , sin(x) = (1)/(2)

La prima si risolve tenendo a mente che il seno di un angolo è uguale a -1 se l'angolo è della forma (3π)/(2)+2kπ, pertanto:

x = (3π)/(2)+2kπ con k∈Z

è una famiglia di soluzioni dell'equazione data.

Occupiamoci dell'equazione:

sin(x) = (1)/(2)

Aiutandoci con la circonferenza goniometrica e con la tabella dei valori notevoli delle funzioni goniometriche, scopriamo che gli angoli che la soddisfano sono:

x = (π)/(6)+2kπ ∨ x = (5π)/(6)+2kπ

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

Tiriamo le conclusioni! Le famiglie di soluzioni associate all'equazione goniometrica

2cos^2(x)-sin(x)-1 = 0

sono

x = (π)/(6)+2kπ ∨ x = (5π)/(6)+2kπ ∨ x = (3π)/(2)+2kπ

dove k è un parametro libero di variare nell'insieme dei numeri interi.
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