Scomposizione di un trinomio con radici dell'equazione di secondo grado

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Scomposizione di un trinomio con radici dell'equazione di secondo grado #67503

avt
FAQ
Punto
Dovrei scomporre un polinomio di secondo grado, dopo aver determinato le sue radici con la formula del delta. Come devo procedere esattamente?

Fattorizzare il seguente polinomio dopo aver determinato le sue radici:

18x^2-29x+3

Grazie mille.
 
 

Scomposizione di un trinomio con radici dell'equazione di secondo grado #67772

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio ci chiede di fattorizzare il polinomio

18x^2-29x+3

usando una tecnica ben precisa: la scomposizione tramite l'equazione associata.

Dal punto di vista operativo, bisogna considerare l'equazione di secondo grado associata al polinomio dato:

18x^2-29x+3=0

dopodiché ne determiniamo il discriminante con la formula:

\Delta=b^2-4ac

dove a, \ b\ \mbox{e} \ c sono rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto, vale a dire:

a=18\ \ \ , \ \ \ b=-29 \ \ \ , \ \ \ c=3

Rimpiazziamo i valori nella formula del discriminante e svolgiamo i calcoli che ne conseguono.

\Delta=b^2-4ac=(-29)^2-4\cdot 18\cdot 3=625

Poiché il \Delta è positivo, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte:

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-29)\pm\sqrt{625}}{2\cdot 18}= \\ \\ \\ =\frac{29\pm 25}{36}=\begin{cases}\frac{29-25}{36}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}=x_1 \\ \\ \frac{29+25}{36}=\frac{56}{36}=\frac{3}{2}=x_2\end{cases}

Note le radici del polinomio, possiamo sfruttare la regola di scomposizione:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

che consente di esprimere il trinomio di secondo grado al primo membro come il prodotto di tre termini:

- il coefficiente di x^2, vale a dire a;

- il binomio x-x_1 dove x_1 è una radice del polinomio;

- il binomio x-x_2 dove x_2 è invece l'altra radice.

Questa semplice regola garantisce la seguente uguaglianza:

18x^2-29x+3=18\left(x-\frac{1}{9}\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)=

Per semplificare l'espressione, possiamo esprimere a denominatore comune i binomi interni alle parentesi tonde

=18\left(\frac{9x-1}{9}\right)\cdot\left(\frac{2x-3}{2}\right)=

trasportare fuori dalle parentesi le costanti moltiplicative

=18\cdot\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{2} (9x-1)(2x-3)=

ed eseguire le moltiplicazioni tra le frazioni

=(9x-1)(2x-3)

In definitiva, la scomposizione del polinomio 18x^2-29x+3=0 è (9x-1)(2x-3).

Abbiamo terminato.
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