Equazione fratta in due incognite

Mi è capitato un esercizio sulle equazioni in due incognite che non sono capace di risolvere perché l'equazione da analizzare è fratta. Ho seguito i suggerimenti del mio professore e tentato qualsiasi metodo, ma niente da fare, non ne sono capace.

Risolvere la seguente equazione in due incognite fratta, rappresentando il luogo geometrico che definisce sul piano cartesiano.



Grazie.

L'esercizio ci chiede di risolvere l'equazione in due incognite



rappresentandone il luogo geometrico associato.

Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico, è necessario imporre le opportune condizioni di esistenza, richiedendo che il denominatore che contiene le incognite sia diverso da zero



Dal punto di vista puramente geometrico, i punti che giacciono sulla retta di equazione



sono da escludere dall'insieme delle soluzioni, in quanto fanno perdere di significato l'equazione stessa (annullano il denominatore).

Affermato ciò, continuiamo con la risoluzione dell'equazione. Portiamo tutti i termini al primo ed esprimiamo l'equazione fratta in forma normale



da cui



Sotto le condizioni di esistenza, possiamo moltiplicare i due membri per il denominatore ricavando così l'equazione equivalente



Abbiamo così ricavato che l'equazione è soddisfatta da quei punti la cui ascissa coincide con l'ordinata, vale a dire dai punti del tipo che soddisfano le condizioni di esistenza.

Attenzione, dobbiamo escludere quei punti che violano la condizione di esistenza



Dal punto di vista geometrico, quelli da escludere sono i punti di intersezione tra la retta di equazione



e la retta di equazione



Per poterli determinare impostiamo il sistema lineare



e risolviamolo per sostituzione



Possiamo pertanto affermare che l'equazione



è soddisfatta da tutti quei punti che realizzano la relazione



ad eccezione del punto , cioè da tutti i punti che giacciono sulla bisettrice del primo e terzo quadrante ad eccezione del suo punto di ascissa .


Abbiamo finito!