Equazione fratta in due incognite

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Equazione fratta in due incognite #67497

avt
ermagnus95
Frattale
Mi è capitato un esercizio sulle equazioni in due incognite che non sono capace di risolvere perché l'equazione da analizzare è fratta. Ho seguito i suggerimenti del mio professore e tentato qualsiasi metodo, ma niente da fare, non ne sono capace.

Risolvere la seguente equazione in due incognite fratta, rappresentando il luogo geometrico che definisce sul piano cartesiano.

\frac{x+3y+1}{3x+y+1}=1

Grazie.
Ringraziano: Omega, Ifrit
 
 

Equazione fratta in due incognite #67500

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio ci chiede di risolvere l'equazione in due incognite

\frac{x+3y+1}{3x+y+1}=1

rappresentandone il luogo geometrico associato.

Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico, è necessario imporre le opportune condizioni di esistenza, richiedendo che il denominatore che contiene le incognite sia diverso da zero

C.E.: \ 3x+y+1\ne 0

Dal punto di vista puramente geometrico, i punti che giacciono sulla retta di equazione

3x+y+1=0

sono da escludere dall'insieme delle soluzioni, in quanto fanno perdere di significato l'equazione stessa (annullano il denominatore).

Affermato ciò, continuiamo con la risoluzione dell'equazione. Portiamo tutti i termini al primo ed esprimiamo l'equazione fratta in forma normale

\\ \frac{x+3y+1}{3x+y+1}-1=0 \\ \\ \\ \frac{x+3y+1-(3x+y+1)}{3x+y+1}=0

da cui

\frac{-2x+2y}{3x+y+1}=0

Sotto le condizioni di esistenza, possiamo moltiplicare i due membri per il denominatore ricavando così l'equazione equivalente

-2x+2y=0 \ \ \ \to \ \ \ y=x

Abbiamo così ricavato che l'equazione è soddisfatta da quei punti la cui ascissa coincide con l'ordinata, vale a dire dai punti del tipo (x,x) che soddisfano le condizioni di esistenza.

Attenzione, dobbiamo escludere quei punti che violano la condizione di esistenza

3x+y+1\ne 0

Dal punto di vista geometrico, quelli da escludere sono i punti di intersezione tra la retta di equazione

3x+y+1=0

e la retta di equazione

y=x

Per poterli determinare impostiamo il sistema lineare

\begin{cases}3x+y+1=0\\ \\ y=x\end{cases}

e risolviamolo per sostituzione

\begin{cases}3x+x+1=0 \ \ \ \to \ \ \ x=-\dfrac{1}{4}\\ \\ y=x \ \ \ \to \ \ \ y=-\dfrac{1}{4}\end{cases}

Possiamo pertanto affermare che l'equazione

\frac{x+3y+1}{3x+y+1}=1

è soddisfatta da tutti quei punti (x,y) che realizzano la relazione

y=x

ad eccezione del punto \left(-\frac{1}{4},-\frac{1}{4}\right), cioè da tutti i punti che giacciono sulla bisettrice del primo e terzo quadrante ad eccezione del suo punto di ascissa -\frac{1}{4}.

Esercizi equazioni in due incognite VI

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