Discussione di un problema parametrico di II grado

Come posso risolvere il seguente problema con le equazioni parametriche di secondo grado? Io ho tentato di scrivere una possibile soluzione, senza però giungere a qualcosa di concreto!

Determinare per quali valori del parametro , l'equazione letterale di secondo grado



ammette:

a) due radici coincidenti;

b) radici opposte;

c) radici reciproche;

d) radici tali che la somma dei loro quadrati sia 30;

e) radici tali che la somma dei reciproci sia -4.

Prima di analizzare i punti del problema, riportiamo alcune osservazioni di carattere generale che varranno per tutti i punti dell'esercizio.

L'equazione letterale di secondo grado



è già ridotta in forma normale e i suoi coefficienti sono



Affinché le radici siano numeri reali, dobbiamo imporre la condizione di realtà delle soluzioni, richiedere cioè che il discriminante associato sia positivo o al più nullo:



È opportuno sottolineare che il coefficiente di , ossia , è facilmente divisibile per 2, ecco perché è più comodo usare la formula del delta quarti



Una volta sviluppato il quadrato di binomio e sommati tra loro i termini simili ricaviamo:



La condizione di realtà delle soluzioni con il delta quarti è



e si traduce nella disequazione di secondo grado



Per risolverla, è sufficiente osservare che il primo membro non è altro che un trinomio notevole che si scompone come prodotto tra



Analizziamo a questo punto il segno di ciascun fattore



e costruendo la tabella dei segni, ricaviamo che:



In termini più espliciti, l'equazione ammette due soluzioni reali se e solo se il parametro rispetta i due vincoli



Tutti gli altri valori di non sono, invece, accettabili perché l'equazione non ammetterebbe soluzioni reali.

Dopo questo grande preambolo, possiamo dedicarci alla risoluzione dei punti, partendo da a).

Ci viene chiesto di determinare i parametri per cui le due soluzioni coincidono e ciò succede nel momento in cui



vale a dire se sussiste l'equazione di secondo grado



che risolviamo usando la legge di annullamento del prodotto. Quest'ultima garantisce che il prodotto al primo membro è zero se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è zero, ossia:



In buona sostanza, otterremo due radici coincidenti se e solo se oppure se . Osserviamo che per l'equazione diventa



e le sue soluzioni sono .

Se , l'equazione parametrica si tramuta in:



con soluzioni .

Occupiamoci del punto b): dobbiamo trovare i valori di per cui le radici siano numeri opposti. Denotate le soluzioni con , tale condizione si traduce in:



o equivalentemente in



In altri termini, quindi, dobbiamo determinare i valori di per cui la somma delle radici sia pari a zero e per farlo, usiamo la relazione secondo cui la somma delle soluzioni di un'equazione di secondo grado espressa in forma normale coincide con l'opposto del quoziente tra il coefficiente di e quello di



da cui ricaviamo l'equazione



vale a dire



Attenzione! non soddisfa le condizioni di realtà ed è dunque un valore non accettabile. Possiamo affermare quindi che non esiste alcun valore di per cui la somma delle soluzioni è pari a zero.

Dedichiamoci al punto c): dobbiamo determinare i valori del parametro per cui le soluzioni siano reciproche, ossia



Se moltiplichiamo i due membri per , la precedente equazione diventa



Cerchiamo in definitiva i valori di per cui il prodotto delle radici sia 1 e possiamo trovarli avvalendoci della relazione



che si traduce nell'equazione



da cui



che è accettabile perché rispetta le condizioni di realtà delle soluzioni.

Passiamo al punto d) che ci chiede di esplicitare i possibili valori del parametro per cui la somma dei quadrati delle soluzioni sia 30, in formule:



Per rispondere al quesito è necessario sfruttare la seguente identità



e le relazioni che legano le radici con i coefficienti



che consentono di scrivere l'uguaglianza



A questo punto, sostituiremo i vari termini con quelli forniti dal problema



da cui, sviluppando il quadrato di binomio e sommando tra loro i monomi simili, ricaviamo un'equazione di secondo grado nell'incognita



Indicati con rispettivamente il coefficiente di , quello di e il termine noto, ossia



possiamo determinare le soluzioni con la formula



I valori ottenuti sono entrambi accettabili perché rispettano le condizioni di realtà delle soluzioni.

Dedichiamoci al punto e): dobbiamo determinare i valori del parametro per cui la somma dei reciproci delle due radici sia uguale a -4, vale a dire:



Sommando le espressioni algebriche al primo membro, ci riconduciamo a una relazione dove sono presenti sia la somma delle soluzioni che il loro prodotto



in questo modo possiamo sfruttare le formule



grazie alle quali ricaviamo



Scriviamo la frazione di frazioni in forma normale moltiplicando il numeratore principale per il reciproco del denominatore principale



e, dopo aver semplificato , eseguiamo il prodotto al primo membro



da cui



In buona sostanza abbiamo ottenuto un'equazione fratta di primo grado nell'incognita . Imponiamo quindi le condizioni di esistenza richiedendo che il denominatore sia diverso da zero



dopodiché trasportiamo tutti i termini dell'equazione fratta a sinistra dell'uguale



Per esprimerla in forma canonica, determiniamo il minimo comune multiplo tra i polinomi ed eseguiamo i passaggi algebrici



da qui sommiamo i termini simili al numeratore e cancelliamo il denominatore, ottenendo così la seguente equazione di primo grado:



Evidenziamo che il valore trovato rispetta le condizioni di realtà ed è pertanto una valore accettabile.

L'esercizio è terminato.