Equazione irrazionale con due incognite #67388

avt
Iusbe
Templare
Il mio professore ha proposto un esercizio sulle equazioni in due incognite in cui ci chiede di rappresentare il luogo geometrico dei punti che soddisfano un'equazione irrazionale. L'equazione definisce implicitamente una funzione, ecco perché mi è balenata l'idea di dover effettuare uno studio di funzione completo. C'è però un problema: il docente ha messo i paletti proibendo gli strumenti dell'Analisi Matematica.

Rappresentare il luogo geometrico dei punti del piano che soddisfano l'equazione in due incognite

y-\sqrt{x^2-1}=0

avvalendosi esclusivamente delle tecniche che l'Algebra di base mette a disposizione.

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Galois
 
 

Equazione irrazionale con due incognite #67409

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio chiede di rappresentare il luogo geometrico dei punti di del piano che soddisfano l'equazione in due incognite

y-\sqrt{x^2-1}=0

Prima di iniziare con i passaggi algebrici, è necessario imporre le condizioni di esistenza delle soluzioni: a causa della presenza della radice quadrata, pretenderemo che il suo radicando sia maggiore o uguale a zero

C.E.:\ x^2-1\ge 0

In buona sostanza dovremo risolvere la disequazione di secondo grado

x^2-1\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x^2\ge 1

da cui

x\le -1 \ \ \ \vee \ \ \  x\ge 1

dove \vee è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "or".

Se da un lato, x è vincolata, y non è soggetta ad alcun vincolo ed è libera di variare nell'insieme dei numeri reali.

In linea del tutto teorica, potremmo risolvere l'esercizio isolando y al primo membro

y=\sqrt{x^2-1}

esprimendo così y in funzione di x e mettendo in chiaro che il luogo geometrico associato all'equazione coincide con il grafico della funzione, vale a dire

G=\{(x,y): \ y=\sqrt{x^2-1} \ \ \ \mbox{con}  \ x\le -1\ \vee \ x\ge 1\}

Sempre dal punto di vista teorico, potremmo avviare uno studio di funzione completo così da ricavare le informazioni necessarie per rappresentare l'insieme delle soluzioni.

D'altro canto, la traccia ci impone di non usare i metodi tipici dell'Analisi Matematica, ecco perché dobbiamo ingegnarci e ricondurci con qualche stratagemma a un luogo geometrico notevole.

Il trucco consiste nell'utilizzare la stessa tecnica risolutiva vista per le equazioni irrazionali in un'incognita. Data quindi la relazione

y-\sqrt{x^2-1}=0

isoliamo il termine irrazionale al primo membro

\sqrt{x^2-1}=y

Avendo già imposto le condizioni di esistenza, manca solamente la condizione di concordanza: poiché la radice al primo membro è positiva o al più nulla, anche il secondo membro deve esserlo.

La condizione di concordanza fornisce quindi un vincolo per y, vale a dire:

C.C.: \ y\ge 0

Una volta imposte le condizioni, possiamo elevare al quadrato i due membri dell'equazione in modo da eliminare la radice quadrata

(\sqrt{x^2-1})^2= y^2 \ \ \ \to \ \ \ x^2-1=y^2

da cui ordinando per bene i termini ricaviamo

x^2-y^2=1

Essa è l'equazione di un'iperbole, infatti si presenta nella forma

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

dove

\\ a^2=1 \ \ \ \to \ \ \ a=1 \\ \\ \mbox{e} \\ \\ b^2=1 \ \ \ \to \ \ \ b=1

Per poter rappresentare l'iperbole nel piano cartesiano, abbiamo bisogno dei suoi vertici che possiamo ricavare con le seguenti relazioni

\\ V_1(-a,0)=(-1,0)\\ \\ V_2(a,0)=(1,0)

Necessitiamo inoltre degli asintoti dell'iperbole le cui equazioni sono date da

y=\pm\frac{b}{a}x \ \ \ \to \ \ \ y=\pm x

In termini espliciti, gli asintoti coincidono con le bisettrici dei quadranti, infatti y=x è l'equazione della bisettrice del primo e terzo quadrante, mentre y=-x è l'equazione della bisettrice del secondo e quarto quadrante.

Una volta rappresentata l'iperbole con queste caratteristiche, dovremo escludere tutti i punti che non rispettano la condizione di esistenza (x\le -1 \ \ \vee \ \ x\ge 1) oppure la condizione di concordanza (y\ge 0). In altri termini, escluderemo dal grafico finale i punti con ascissa compresa tra -1 e 1 esclusi e ordinata minore di 0.

L'insieme delle soluzioni associato all'equazione è quindi:

Esercizi equazioni in due incognite VIII

Ecco fatto!
Ringraziano: Iusbe
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Os