Equazione goniometrica con formule di duplicazione

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Equazione goniometrica con formule di duplicazione #67335

avt
FAQ
Punto
Mi è capitata un'equazione goniometrica in cui compare un seno elevato al quadrato. L'esercizio mi impone di usare le formule di goniometria per semplificarla, ma come?

Usare le opportune formule goniometriche per risolvere la seguente equazione goniometrica

\sin^2(x)=1

Grazie.
 
 

Equazione goniometrica con formule di duplicazione #67346

avt
Ifrit
Ambasciatore
Per risolvere l'equazione goniometrica

\sin^2(x)=1

possiamo avvalerci della formula di duplicazione del coseno

\cos(2\alpha)=1-2\sin^2(\alpha) \ \ \ \mbox{per ogni} \ \alpha\in\mathbb{R}

da cui segue che

\sin^2(\alpha)=\frac{1-\cos(2\alpha)}{2}\ \ \ \mbox{per ogni} \ \alpha\in\mathbb{R}

Essa consente di riscrivere l'equazione

\sin^2(x)=1

nella forma equivalente

\frac{1-\cos(2x)}{2}=1

Per ricavare le soluzioni, moltiplichiamo i due membri per 2

1-\cos(2x)=2

e isoliamo il coseno al primo membro

-\cos(2x)=2-1 \ \ \ \to \ \ \ \cos(2x)=-1

Poiché il coseno di un angolo è uguale a -1 se l'angolo è della forma \pi+2k\pi al variare di k nell'insieme dei numeri interi, ci riconduciamo alla seguente equazione di primo grado nell'incognita x

2x=\pi+2k\pi\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Dividendo i due membri per il coefficiente di x ricaviamo la famiglia di soluzioni dell'equazione iniziale.

x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Abbiamo finito.
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Os