Scomposizione di un trinomio con il metodo dell'equazione associata

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Scomposizione di un trinomio con il metodo dell'equazione associata #67261

avt
FAQ
Frattale
Mi serve una mano per scomporre un polinomio di secondo grado a coefficienti fratti. Il testo propone di usare l'equazione associata e di ricavare le radici: io però non so come si fa.

Ricavare le radici del seguente polinomio di secondo grado e usarle per determinare la scomposizione.

\frac{x^2}{2}+\frac{9}{4}x-\frac{9}{2}

Grazie mille.
 
 

Scomposizione di un trinomio con il metodo dell'equazione associata #67265

avt
Ifrit
Amministratore
Prima di dedicarci alla scomposizione del polinomio

\frac{x^2}{2}+\frac{9}{4}x-\frac{9}{2}=

bisogna effettuare alcuni passaggi algebrici preliminari che consentono di semplificarne l'espressione: in termini più espliciti, esprimeremo l'espressione a denominatore comune.

=\frac{2x^2+9x-18}{4}=\frac{1}{4}\left(2x^2+9x-18\right)

Invece di scomporre il polinomio a coefficienti fratti, occupiamoci della fattorizzazione di

2x^2+9x-18

con il metodo dell'equazione associata.

Questa tecnica consiste nel considerare l'equazione di secondo grado associata al polinomio, vale a dire:

2x^2+9x-18=0

nel ricavare le sue soluzioni x_1, \ x_2 (se esistono) e nell'usare la relazione generale:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

Sottolineiamo che il polinomio risulta irriducibile in \mathbb{R}, se l'equazione associata non ammette soluzioni reali.

Occupiamoci dell'equazione

2x^2+9x-18=0

Indichiamo con a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, il coefficiente di x e il termine noto

a=2 \ \ \ , \ \ \ b=9 \ \ \ , \ \ \ c=-18

e calcoliamo il discriminante con la formula:

\Delta=b^2-4ac=9^2-4\cdot 2\cdot (-18)=225

In accordo con la teoria, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte x_{1}\ \mbox{e} \ x_2, ottenibili con la relazione:

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-9\pm\sqrt{225}}{2\cdot 2}= \\ \\ \\ =\frac{-9\pm 15}{4}=\begin{cases}\frac{-9-15}{4}=-\frac{24}{4}=-6=x_1\\ \\ \frac{-9+15}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=x_2\end{cases}

Determinate le radici del polinomio, possiamo usare la relazione:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

e ottenere l'uguaglianza:

\\ 2x^2+9x-18=2\left(x-(-6)\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)= \\ \\ =2\left(x+6\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)=

Moltiplichiamo per 2 il binomio x-\frac{3}{2} e operiamo le dovute semplificazioni:

=(x+6)\left(2x-3\right)

Nota la scomposizione del polinomio 2x^2+9x-18, siamo in grado di fattorizzare anche il polinomio iniziale!

\\ \frac{x^2}{2}+\frac{9}{4}x-\frac{9}{2}=\frac{1}{4}\left(2x^2+9x-18\right)= \\ \\ \\ =\frac{1}{4}(x+6)(2x-3)

Ecco fatto!
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Os