Scomposizione di un trinomio con il metodo dell'equazione associata

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Scomposizione di un trinomio con il metodo dell'equazione associata #67261

avt
FAQ
Frattale
Mi serve una mano per scomporre un polinomio di secondo grado a coefficienti fratti. Il testo propone di usare l'equazione associata e di ricavare le radici: io però non so come si fa.

Ricavare le radici del seguente polinomio di secondo grado e usarle per determinare la scomposizione.

(x^2)/(2)+(9)/(4)x-(9)/(2)

Grazie mille.
 
 

Scomposizione di un trinomio con il metodo dell'equazione associata #67265

avt
Ifrit
Amministratore
Prima di dedicarci alla scomposizione del polinomio

(x^2)/(2)+(9)/(4)x-(9)/(2) =

bisogna effettuare alcuni passaggi algebrici preliminari che consentono di semplificarne l'espressione: in termini più espliciti, esprimeremo l'espressione a denominatore comune.

= (2x^2+9x-18)/(4) = (1)/(4)(2x^2+9x-18)

Invece di scomporre il polinomio a coefficienti fratti, occupiamoci della fattorizzazione di

2x^2+9x-18

con il metodo dell'equazione associata.

Questa tecnica consiste nel considerare l'equazione di secondo grado associata al polinomio, vale a dire:

2x^2+9x-18 = 0

nel ricavare le sue soluzioni x_1, x_2 (se esistono) e nell'usare la relazione generale:

ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)

Sottolineiamo che il polinomio risulta irriducibile in R, se l'equazione associata non ammette soluzioni reali.

Occupiamoci dell'equazione

2x^2+9x-18 = 0

Indichiamo con a, b e c rispettivamente il coefficiente di x^2, il coefficiente di x e il termine noto

a = 2 , b = 9 , c = -18

e calcoliamo il discriminante con la formula:

Δ = b^2-4ac = 9^2-4·2·(-18) = 225

In accordo con la teoria, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte x_(1) e x_2, ottenibili con la relazione:

x_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-9±√(225))/(2·2) = (-9±15)/(4) = (-9-15)/(4) = -(24)/(4) = -6 = x_1 ; (-9+15)/(4) = (6)/(4) = (3)/(2) = x_2

Determinate le radici del polinomio, possiamo usare la relazione:

ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)

e ottenere l'uguaglianza:

2x^2+9x-18 = 2(x-(-6))(x-(3)/(2)) = 2(x+6)(x-(3)/(2)) =

Moltiplichiamo per 2 il binomio x-(3)/(2) e operiamo le dovute semplificazioni:

= (x+6)(2x-3)

Nota la scomposizione del polinomio 2x^2+9x-18, siamo in grado di fattorizzare anche il polinomio iniziale!

(x^2)/(2)+(9)/(4)x-(9)/(2) = (1)/(4)(2x^2+9x-18) = (1)/(4)(x+6)(2x-3)

Ecco fatto!
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Os