Equazione logaritmica con logaritmi in base 10

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Equazione logaritmica con logaritmi in base 10 #67244

avt
|complicato|
Punto
Mi è capitata un'equazione logaritmica che non so risolvere. Il mio professore mi ha consigliato di utilizzare le proprietà dei logaritmi così da ricondurmi alla forma normale, però non ne sono capace. Spero possiate aiutarmi.

Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione logaritmica

\mbox{Log}(x-2)+\mbox{Log}(5)=\mbox{Log}(x)

Grazie.
 
 

Equazione logaritmica con logaritmi in base 10 #67283

avt
Galois
Amministratore
Consideriamo

\mbox{Log}(x-2)+\mbox{Log}(5)=\mbox{Log}(x)

Essa è chiaramente un'equazione logaritmica, infatti l'incognita x si manifesta all'interno di almeno un logaritmo.

Osservazione: con il simbolo \mbox{Log}(x) - si noti la maiuscola - si intende solitamente il logaritmo in base 10.

Prima di avventurarci nei calcoli, è necessario imporre le opportune condizioni di esistenza, in particolare richiederemo che gli argomenti dei logaritmi che contengono l'incognita devono essere contemporaneamente maggiori di zero. Per tale motivo consideriamo il sistema di disequazioni

\begin{cases}x-2>0\\ \\ x>0\end{cases}

da cui

\begin{cases}x>2\\ \\ x>0\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ x>2

L'equazione è quindi ben posta se e solo se l'incognita soddisfa il vincolo

C.E.:\  x>2

Occupiamoci dei passaggi algebrici e utilizziamo a dovere le proprietà dei logaritmi così da ricondurci a una forma notevole

\mbox{Log}(x-2)+\mbox{Log}(5)=\mbox{Log}(x)

Applichiamo la regola per il logaritmo del prodotto

\mbox{Log}[(x-2)\cdot 5]=\mbox{Log}(x)

e sviluppiamo i calcoli nell'argomento del logaritmo del primo membro

\mbox{Log}(5x-10)=\mbox{Log}(x)

A questo punto possiamo tranquillamente uguagliare gli argomenti dei due logaritmi

5x-10=x

ricadendo in un'equazione di primo grado di facile risoluzione

4x=10 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{10}{4} \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{5}{2}

Il valore ottenuto soddisfa la condizione di esistenza, infatti \frac{5}{2}>2, di conseguenza x=\frac{5}{2} è soluzione dell'equazione di partenza.
Ringraziano: Omega, CarFaby
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Os