Equazione goniometrica scomponibile con la tangente

Mi servirebbe il vostro aiuto per calcolare le soluzioni di un'equazione goniometrica in cui compare il quadrato della tangente. Avevo pensato di procedere con la sostituzione, anche se il mio insegnante mi ha detto che non è strettamente necessario.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione goniometrica



Grazie.

Prima di dedicarci alla ricerca delle soluzioni associate all'equazione goniometrica



occorre imporre le condizioni che garantiscono la buona posizione della tangente.

Poiché la tangente di un angolo è ben posta se l'angolo è diverso da al variare di nell'insieme dei numeri interi, bisogna imporre la seguente condizione di esistenza:



Noto il vincolo che definisce l'insieme di esistenza delle soluzioni, siamo autorizzati a svolgere i passaggi algebrici sull'equazione iniziale.



Raccogliamo totalmente



e sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto la quale garantisce che il prodotto al primo membro è zero se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è zero:



Ci siamo ricondotti a due equazioni elementari in tangente. La prima è di facile risoluzione: basta ricordare che la tangente di un angolo è zero se l'angolo è un multiplo di , ossia:



Per quanto concerne la seconda



possiamo avvalerci della circonferenza goniometrica e della periodicità della tangente, grazie alle quali ricaviamo:



Alla luce delle considerazioni precedenti, possiamo affermare che l'equazione



è soddisfatta dalle seguenti famiglie:



al variare di nell'insieme dei numeri interi.